Üslü Sayılar Konu Anlatımı

Üslü Sayı Nedir?

Üslü sayılar dediğimiz ifade kendini tekrar eden sayıların çarpımıdır. Eğer bir sayı tekrarlı olarak çarpım durumunda ise pratik şekilde ifade edebilmek için üs kavramı ortaya çıkarılır.

 

Bu duruma bir örnek vermek gerekirse;

 

 

2 üzeri 5 ifadesini alabilirsiniz. 2 sayısı kendini 5 defa tekrar ederek çarpım durumuna gelmiştir. Bu, 2 üzeri 5 şeklinde gösterilebilir. Sonuç olarak da 32’ye ulaşılır. Bu ifadenin okunuşu için “2 üssü 5” diyebilirsiniz. 

Üslü İfadenin Özellikleri

Üslü sayılar arasında birçok öğrenilebilecek özellik vardır. Bu özellik sayesinde işlemleri daha kısa sürede bulabilirsiniz. 

 

1. 1 sayısının tüm kuvvetleri kendisine eşittir. Yani 1 sayısına eşittir. Örneğin;

 

nedir? denildiğinde 1x1x1x1=1 sonucuna varılır. Yani 1 sayısı üssü ne olursa olsun yine kendisine eşittir. 

 

2. 0 sayısının herhangi bir kuvveti yine 0 sayısına eşittir. Ancak burada (0 üzeri 0) kavramı tanımsızdır.

 

Örneğin;  eşittir. Burada 0 sayısının 0x0x0x0x… = ? denilir ve ifade 20 tane sıfırın yanyana çarpılmasını gösterir. Sonuç olarak 0 değerini verir.

 

3. Tüm sayıların 0. kuvveti 1’ eşittir. Burada da herhangi bir sayının 0. kuvvetini alalım.

 

burada bir sayının sıfır defa kuvveti alınması istenir. Bir sayıyı sıfır defa kendisiyle çarpmak anlamına gelir. O nedenle çarpma işlemine göre etkisiz eleman olan 1 sayısına eşit olduğunu söyleyebiliriz.

 

Sonuç olarak; 'e eşittir. 

 

4. 0 sayısının negatif kuvvetleri için tanımsız olduğunu kabul ederiz. Bunun nedenini bir örnekte inceleyelim.

 

 

Bu ifadede 0 üssü -2 ifadesinden ilk olarak yapılacak işlem eksiden kurtulmak olacaktır. O halde ifadeyi ters çevirelim. İfade ters çevrildikten sonra görüldüğü gibi 0 paydaya gelmiştir. Bu durum tanımsız kavramını ortaya çıkarır. O nedenle 0 sayısının negatif kuvveti tanımsız olarak bilinir. 

Üslü İfadelerde Dört İşlem

Üslü ifadelerde dört işlem yaparken temel toplama, çıkartma, çarpma ve bölme kuralları uygulanır. Fakat üslü ifadeleri işleme dahil ederken dikkat edilmesi gereken durumlar vardır. Bunları örnekler üzerinde inceleyelim.

 

Üslü Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemi

 

Toplama ve çıkartma işlemi yapabilmek için üs ve tabanlar eşit olmalıdır. Çünkü toplama ve çıkartma işleminde ortak paranteze alarak işlem yapılır. Örnek:

 

 

Burada (2 üssü 5) her iki ifade için ortak değerdir. O halde ortak paranteze alınır. 

 

 

Burada aslında (2 üssü 5) ifadesinden 10 adet olduğu görülür. İşlemin devamında

 

bulunur. Ardından üslü ifade değeri hesaplanır. 

 

olduğu bulunur ve sonuç yazılır.

 

sayısına ulaşılır.

 

Aynı durum çıkartma içinde geçerlidir. Ortak paranteze alarak işlemler yapılır. 

 

Üslü İfadelerde Çarpma ve Bölme İşlemi 

 

Çarpma ve bölme işleminde sonuca gidebilmek için tabanlar aynı olmalıdır. Çarpma işlemi için bir örnek görelim:

 

örnekte sonuç ne olur? Burada eğer tabanlar eşitse üsler toplanır kuralını bilmemiz gerekir. Eğer üslü ifadelerde taban aynıysa üsler toplanır. O halde sonuç;

 

olarak bulunur. 

 

Bu durumun arkasındaki mantık şudur. şimdi ifadeyi tümünü açalım. 5x5x5x5x5x5x5x5x5 olduğu görülür. Yani (5 üssü 9) o halde kısa yoldan üsleri toplayarak sonuca varabiliriz.

 

Şimdi de bölme işleminde ne yapılır ona bakalım. Örnek:

 

şimdi bu örneği inceleyelim. Burada üslü ifadelerde bölme işlemi yapılırken tabanlar aynı ise üsler çıkarılır. Üs çıkarılırken kesrin payındaki üs paydadaki üsten çıkarılır. 

 

Yani sonuç;

 

bulunur. 

 

Peki burada neden çıkartma yapılır. Çünkü ifade tümüyle açılınca ne oluyor bakalım. 

 

 

Burada sadeleştirme yapılırsa kesrin yukarısında 5 sayısının 2 tanesi silinir. O halde yukarıda (5 üssü 5) kalır.

Üslü Denklemler

Üslü sayılar içerisinde bulunan denklemler nasıl çözülür? Birkaç basit kuralı öğrenerek tüm üslü ifade içeren soruları çözebilirsiniz.

 

1. Tabanlar Eşitse

 

Üslü sayılar içerisinde verilen bir denklemde taban eşitse üsler farklı ise taban ne olabilir? Bunu bir örnekte inceleyelim.

 

bu işlemde tabanları aynı fakat üsleri farklı bir denklem görülüyor. Şimdi x sayısı için olasılıkları düşünelim. İlk olarak ifadeyi açarsak;

 

x.x.x=x.x.x.x ifadesi görülür. Burada sadeleştirme yapılırsa 1=x veya x=0 olasılığı olduğu görülür. O halde eğer taban aynı fakat üsler farklı ise x sayısı ya 0 ya da 1’dir. -1 olma olasılığı var mıdır? Evet eğer üsler çift olsaydı her ikisi o halde -1 sayısı da dahil olurdu. 

 

2. Üsler Eşitse 

 

bu şekilde bir denklemle karşılaşılırsa burada aynı sonucu verebilmeleri için ifade ya 0 veya 1 olmalıdır. O halde x=1 veya 0, y= 0 veya 1 olur. 

 

Şimdi üslü denklemler üzerine birkaç soru tarzını görelim. Örneğin;

 

ifadesinde x sayısını bulalım. İlk olarak 64 sayısını üslü ifade olarak yazabiliyor muyuz buna bakalım. Evet 64 sayısı (4 üssü 3)’ün kapalı halidir. 

 

burada bilinmelidir ki eğer üsler eşitse tabanlar da eşit olmalıdır. Çünkü tabandaki sayımız 0,1 ve -1 ifadesinden farklıdır. O nedenle x =4 olarak bulunur. 

 

O halde; eğer tabanlar (0,1 ve-1)’den farklıysa hem üs hem de taban eşit olmalıdır, ifadesini çıkartabiliriz. 

 

3. Sonucu 1 Olan Üslü Denklemler için Ne Yapılır?

 

Üslü sayılar içerisinde incelenebilecek 3 farklı olasılık karşımıza çıkar. Bu durumları örnek üzerinden inceleyelim.

 

ifadesinde x değerlerini bulalım. Burada ilk olarak sonucu 1 olabilecek üslü sayılar düşünülmelidir.

 

• Eğer taban 1 ve üs pozitif bir sayıysa sonuç 1’dir. 
• Eğer taban -1 ve üst çift bir sayı ise sonuç 1’dir.
• Eğer taban 1 ve üs 0 ise sonuç yine 1’dir. 

 

Bu kuralları üslü sayılar özelliklerinden biliyoruz. O halde bu olasılıkları çözerek x’in değerlerini bulalım.

 

 

Burada görüldüğü gibi ilk olarak taban 1 sayısına eşitlenir. Ardından x sayısı 3 olarak bulunur ve yerine yazılır. Sonuç (1 üssü 8) olur. Bu da 1 sayısına eşittir. 

 

 

2. durum olan tabanın -1 olması özelliğidir. Şimdi burada tabanı -1’e eşitlersek x sayısı 1 bulunuyor. Ancak bir diğer şart üssün çift olmasıdır. Şimdi sayıyı yerine koyalım. (1+5)=6 oluyor. Yani çift şartı sağlanır. O halde x=1 olabilir.

 

 

Son durumda da üs sıfır olursa sonuç yine 1 olabilir. Ancak burada x değeri yerine konulduğunda tabanı sıfır yapmayacak şekilde alınır. Burada x= -5 bulunur. Tabanda yerine yazınca -7 olur O halde x= -5’de olabilir. 

 

O halde x sırasıyla 3, 1 ve -5 değerini alır. Burada dikkat edilecek kısım bulunan değerler yerine yazılmalıdır. Eğer 2. özellikte üs çift gelmezse sonuç -1 olacaktı. O nedenle x için bulunan değer kabul edilmezdi. Dolayısıyla bulduğunuz değerleri yerine yazarak kontrol etmelisiniz. 

Üslü İfadenin Üssü

Üslü sayılar içerisinden bir sayının birçok üssü alınabilir. Peki üssün üssü alınırken ne yapılır? Burada işlem önceliğini hatırlayabiliriz. İlk olarak en içteki üs hesaplanır. Ardından diğer üs işleme dahil edilebilir ya da üsler çarpılabilir. Gelin bunu bir örnekte inceleyelim. Örnek:

 

bu işlemi adım adım çözelim.

 

İlk olarak üslü sayılar kavramından yola çıkarak ilk parantezi bulabiliriz. O halde burada parantez içindeki sayı 2 defa tekrarlı olduğu anlaşılır. Parantez içindeki sonuç 5x5=25 olur. 

 

Parantez içini hallettik. Şimdi 25 üssü 3 sonucuna ulaşılır. Onu da 25x25x25=15625 olduğu bilinir. 

 

Peki işlem üslü olarak istenirse ne olur? İşte orada üslerin çarpılabileceği kuralı gelir. 

 

sonucuna ulaşılır.

Üslü İfadelerde Sıralama

Üslü ifadelerde sıralama yapabilmek için ya üs ya da taban eşit olmalıdır. Eğer eşit değilse bu durum uygun şekilde düzeltilebilir. Bu durumu bir örnekte görelim.

 

Yukarıdaki ifadeyi büyükten küçüğe olacak şekilde sıralayalım.

 

İlk olarak baktığımızda taban ve üsler eşit görünmüyor. Ancak üslerin 16’nın katı olduğu görülür. O halde üssün üssü kuralından yola çıkabiliriz. Yani ifade şöyle yazılabilir. 

 

 

Burada üslerin aynı olduğu görülür. O halde a= 4 üssü 16, b= 81 üssü 16 ve c= 5 üssü 16 dır. Eğer üslü ifadelerde üs eşitse tabanı büyük olan büyüktür. Sonuç olarak; b>c>a sonucuna ulaşır. 

 

Ancak taban aynı, üs farklı olursa onda da üssü büyük olan büyüktür.