Köklü Sayılar Konu Anlatımı

Köklü Sayıların Tanımı

Köklü sayılar; reel sayıların kök içine alınarak ifade edilmesine denir. Ayrıca bir sayının hangi sayının karesi olduğunu bulma işlemi için köklü ifadeler kullanılır.

 

x€R ve n € N olmak üzere gösterilebilen sayılardır. Okunuş olarak “ n’inci kök x” şeklindedir. “n” ile gösterilen sayı, köklü ifadenin derecesini ve “x” sayısı ise köklü ifadenin taban sayısını temsil eder.

 

Pozitif tam sayılar arasında; 1,4,9,16.. gibi sayılar tam kare pozitif tam sayılar olarak bilinir.

Temel Kurallar

Köklü sayılar konusu içerisinde bazı temel kurallar bulunur.

 

• Özel olarak okunan iki köklü sayı bulunur. Bunlar; karekök 2, ifadesi küp kök 2 şeklinde okunur. Ayrıca bir köklü ifade üzerinde derece verilmemiş ise o köklü sayının derecesi 2’dir.
• Köklü ifadeler üslü sayılar şeklinde yazılabilir.  ise; n kökün derecesi ve 1 ise x sayısının üssüdür. O halde şeklinde kök dışına çıkabilir. Sonuç olarak köklü sayılar için x’li ifadenin üssü pay; kökün derecesi ise paydaya yazılır.
• Tam kare olan pozitif sayıların karekökü bulunurken sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Kök içerisindeki sayı kökün derecesine uygun olacak şekilde üssü şekilde yazılır. Kök içindeki sayıların üssü, kökün derecesine eşitse üslü ifadenin üssü atılır ve sayı dışarı çıkarılır. Bunu bir örnek üzerinde inceleyelim.

 

Örnek: 125 sayısının karekökünü bulalım.

 

Çözüm:

Köklü Sayıların Özellikleri

Derecesi eşit olmayan sayılarda işlem yapabilmek için bazı temel özellikler bulunur. Bu kuralları inceleyerek sorular üzerinde daha kolay işlemler yapılabilir.

 

Dereceleri çift veya tek olan sayıların kök dışına nasıl çıkıldığını öğrenelim.

 

Eğer derece ve kökün içindeki sayının üssü tek ve eşit ise; köklü sayılar dışarı çıkarken olur.

 

Eğer derece ve kökün içindeki sayının üssü çift ve eşit ise; köklü sayılar dışarı çıkarken  = |x| olur.

 

Kök dışındaki bir sayı nasıl içeri alınır, bu özelliğe bakalım. 

şeklinde a sayısını içeri alabilirsiniz. Burada kökün dışında olan sayı; köklü ifadenin derecesini alarak kök içine girebilir.

 

Kök içindeki bir sayı nasıl dışarı çıkarılır, bu özelliğe bakalım.

 şeklinde yukarıdaki işlemin tersi yapılarak kök içindeki sayıyı dışarı çıkarabilirsiniz. Kök dışına çıkacak sayının derecesi; kökün derecesine eşit olduğunda dışarı yazılabilir.

Köklü Sayılarla İşlemler

Köklü sayılar arasında çarpma- bölme, toplama-çıkarma işlemleri yapılabilir. Bu işlemlerin nasıl yapıldığına göz atalım.

 

Çarpma-Bölme İşlemi

 

Köklü sayılar arasında çarpma ve bölme işlemi yaparken köklerin derecesi kendi arasında, kök içindeki sayılar kendi arasında çarpılıp ya da bölünerek sonuca yazılır.

 

Örnek: 

 

Çözüm: İfadenin dereceleri kendi arasında çarpılır ve kök içleri kendi arasında çarpılıp sonuca yazılır.

Bu ifadeyi şu şekilde de düşünebilirsiniz. olarak üslü şekilde ifade edilebilir. O haldesonucuna varılır. Bu sonucu köklü sayılar şeklinde yazabilirsiniz. Sonuç olur.

 

Köklü sayılar içerisinde bölme işlemi yaparken;

 

b ve d sayıları sıfırdan farklı olsun. olarak ifade edilir.

 

Örnek:

 

Çözüm: Soruda kök 5 ifadeleri ortak olduğu için sadeleştirebilirsiniz. Sonuç olarak 21/7 kalır ve cevap 3 olur.

 

Örnek: ifadesinin sonucunu bulunuz.

 

Çözüm: 72 ve 35 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım. Böylece kök dışına çıkabilen sayıları bulup işlemi daha kolay şekilde çözümleyebilirsiniz. O halde

 

Toplama- Çıkarma İşlemi

 

Köklü sayılar arasında; toplama ya da çıkarma yapabilmek için kök içindeki ifade eşit olmalıdır. Kök içindeki sayı eşit değilse; kökten çıkarma ya da kök içine alma adımları uygulanabilir.

 

Örnek:

Çözüm: Kök içindeki ifade eşit olduğu için işlem yapılabilir. sabit sayılar kendi arasında yazılıp köklü ifadeyi olduğu gibi sonuca ekleyebilirsiniz. Dolayısıyla sonuç  olarak bulunur.

Köklü Sayıların Sadeleştirilmesi ve Genişletilmesi

Sadeleştirme ve genişletme işlemleri dereceleri farklı olan sayıları eşitlememizi sağlar. Böylece köklü sayılar içerisinde sıralama ve dört işlem sırasında işlemleri çözüme ulaştırabilirsiniz. Şimdi köklü ifadelerde sadeleşme ve genişletme işlemini inceleyelim.

İç İçe Köklü İfadeler

Köklü sayılar, iç içe geçebilen köklü ifadeleri içerebilir. Bunlar arasında:

Denklem Çözümlerinde Köklü Sayılar

Köklü sayılar içinde denklem çözebilmek için ifadeleri kökten kurtarmak gerekir. Bir sayı kökün içindeyken işlem yapmak zorlaşır. Bu durum karşısında eşitliklerin her iki tarafında derecenin kuvvetine göre üs alınır. Köklü ifadeler ve iç içe geçen kökler için denklemler nasıl çözülür bakalım.

 

Örnek:  ifadesinde x değerlerini bulunuz.

 

Çözüm: Burada işlem yapabilmek için kökten kurtulmak gerekir. Her iki tarafın karesini alalım (kökün derecesi 2 olduğu için karesi alınır).

 

• Bu şekilde kök ile üs birbirini nötr yapar. 2x+5=9 ifadesiyle karşılaşırsınız.
• Bu aşamada denklem bilgilerinizi kullanarak sonuca gidebilirsiniz.
• Her iki taraftan 5 çıkartalım. Böylece x’li ifade yalnız kalır. 2x+5-5=9-5 ifadesinden 2x=4 elde edilir. Ardından her tarafı ikiye bölersek x=2 bulunur. Bir tane örneği de iç içe geçmiş köklü sayılar arasında çözebiliriz.

 

Örnek: ifadesinde x değerlerini bulunuz.

 

Çözüm: Soruda iki adet kök bulunur. Bu nedenle iki defa kökten kurtulma işlemi uygulanmalıdır. O halde ilk olarak en dıştaki kökten kurtulalım. En dışta bulunan kökün derecesi 2 olduğu için her tarafın 2. dereceden üssünü alalım.

 

• bu şekilde en dıştaki kökten kurtulabilirsiniz.
• Ardından her taraftan 2 çıkaralım. Böyleceifadesini denklemin bir tarafında yalnız bırakalım.
• ifadesini elde edebilirsiniz. Ardından karşımıza yeniden köklü bir ifade çıkar. Bu kökün derecesi de 2 olduğu için her tarafın 2.dereceden üssü alınır.
• Böylece 3x-1=49 sayısına ulaşılır. x yalnız bırakmak için her tarafa +1 eklenir. Böylece 3x=50 olacak şekilde x ‘li ifade yalnız kalır. Son olarak her iki tarafı 3 ile bölerseniz x=50/3 değerine ulaşır.