Oran Orantı Konu Anlatımı

Oran Orantı Nedir?

Oran orantı günlük hayatta sıklıkla karşılaşılan bir kavramdır. Örneğin ilaçlarda bulunan elementlerin miktarı oran ile ifade edilir. Bir ülkede bulunan nüfüs sayımı sırasında kadın ve erkekler arasında belirli bir oran bulunur. Bu tarz aynı birime sahip çoklukların birbirleriyle olan ilişkilerini incelemek için oran ve orantı kavramlarına bakılır.

Oran

Aynı birime sahip iki farklı çokluğun birbirine bölünmesine oran kavramı adı verilir. İki çokluk arasından en az birinin 0’dan farklı reel sayılardan oluşması istenir. Bu şekilde a ve b olmak üzere iki çokluğun birbirine oranı a:b ya da a/b şeklinde sembolize edilir. Birbiriyle oranlanan sayılar kesirlerde olduğu gibi sadeleştirme veya genişletme işlemleri oran orantı soruları üzerinde uygulanabilir.

 

Örnek: Bir kitap kulübünde bulunan kız katılımcı sayısı 12 ve erkek katılımcı sayısı 20'dir. Bu kitap kulübündeki kızların erkeklere oranı nedir?

 

Çözüm: Kızlar: K ve Erkekler: E olsun. Soruda kızların erkeklere oranı istendiğine göre; K/E= 12/20 şeklinde yazılabilir. Sonucu 4 ile bölüp sadeleştirirsek 3/5 olarak bulunur.

Orantı

Orantı kavramı; iki veya daha fazla çokluk içeren oranların birbirine eşitlenmesine denir. İki çokluğun orantı olarak gösterimi a/b=c/d şeklinde yapılabilir. Burada a’nın b’ye oranı c’nin d’ye oranına eşittir. Bu duruma orantı denir. Ayrıca bu gösterim a:b=c:d şeklinde de gösterilebilir.

 

Sabit bir k değeri belirlenerek a/b=c/d =k şeklinde gösterildiğinde buradaki k değeri için orantı sabiti denilir.

 

a/b=c/d ifadesi için a ve d harfleri içler; b ve c harfleri ise dışlar olarak adlandırılırlar. Ayrıca a:d=b:d şeklinde de gösterilebilir.

Doğru Orantı

Oran orantı konusunda iki farklı orantı çeşidi vardır. Bunlardan ilki doğru orantılıdır. Doğru orantı tanımı için iki tane çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyor ya da azalıyorsa bu çokluklara denildiği söylenebilir. Doğru orantıda içler dışlar çarpımı eşittir. Kısaca (DO) şeklinde gösterilebilir. x/y=k ise x ve y sayıları birbiriyle doğru orantılıdır.

 

Örnek: Eş becerilere sahip 4 öğrenci 20 soru çözebiliyorsa bu öğrencilerden 3 tanesi aynı sürede kaç soru çözebilir?

 

Çözüm: Bir çokluk artarken diğerinin de arttığı söylenebilir. Eğer öğrenci sayısı artarsa çözülecek soru sayısı da artar. O halde bu ifade doğru orantılıdır. İçler dışlar çarpımı yapılarak sonuç bulunur. 4/20=3/x ise 4.x=3.20 elde edilir. Burada 4x=60 her tarafı 4’e bölersek x=15 bulunur.

Ters Orantı

Oran orantı ifadesinde eğer iki farklı çokluktan biri artarken diğeri azalıyorsa bu durumu ters orantı ile gösterebilirsiniz. Kısaca (TO) ile gösterilir. Ters orantı kavramlarında çokluklar yan yana çarpıldığında eşitlik verir. x.y= k ise x ve y sayıları birbiriyle ters orantılıdır.

 

Örnek: a ve b sayıları ters orantılı olsun. a= 45 ve b=6 değerleri için a=15 iken b sayısını bulunuz.

 

Çözüm: a.b=k ise 45.6=270 ise k sabiti 270 olduğu bilinir. 15.b=270 ise b=18 olduğu bulunur.

Orantı Özellikleri

Oran orantı soruları çözerken; orantı kavramı hakkında belirli özellikleri öğrenerek daha kolay çözüme gidilebilir. Şimdi orantı için matematikçilerin ortaya koyduğu özellikleri tanıyalım.

 

a/b=c/d =k içeren bir orantıda

 

• İçler çarpımları dışların çarpımına eşittir.

 

Örnek: 9/12=3/4 ifadesinde; 9.4=12.3=36 olduğu görülür.

 

• Oran orantı işlemlerinde içler ve dışlar kendi aralarında yer değiştiğinde sonuç değişmez.

 

Örnek: 9/12=3/4 eşitliğinde 4/3=12/9 şeklinde içleri ve dışları kendi arasında yer değiştirdiğimizde eşitlik bozulmaz. 4.9=12.3=36 bulunur.

 

• Bir orantı eşitliğinde eğer paylar kendi arasında ve paydalar kendi arasında toplanırsa orantı sabiti değişmez. Yani k= a/b=c/d ifadesinde a+cb+d= k olur.

 

Örnek: 7/21=1/3=k olsun. 7+1/21+3=8/24=1/3 olarak bulunur.

 

• Orantı içeren durumlarda iki oranı çarparsanız orantı sabitini k üssü 2 olarak ifade edebilirsiniz. Yani a/b=c/d =k ifadesinde a.c/b.d=k üssü 2 şeklinde yazabilirsiniz.

 

Örnek: 2/5=4/10 olsun. 2.4/5.10=8/50 sonucuna varılır. Bu ifadeyi 2 ile sadeleştirelim. (2) üssü 2/(5) üssü 2= (2/5) üssü 2= k üssü 2 olur.

 

• Bir orantı okunurken “a ve b sayıları sırasıyla x ve y ile orantılıdır” deniliyorsa bu ifadenin matematiksel gösterimi a/x=b/y olarak yazılır.

 

Örnek: 7/21=1/3=k orantısında 7=1.k ve 21=3.k şeklinde ifade edilebilir.

Karışık ve Bileşik Orantı

Oran orantı problem çözerken ikiden fazla çokluk içeren eşitlikler için bileşik orantı kavramı ortaya çıkar. Eğer bir problem içerisinde hem doğru orantı hem de ters orantı yapılabilecek durumlar oluşabilir.

 

Örnek: a sayısı b+2 ile doğru orantılı ve c-1 ile ters orantılı olsun. a=3, b=4 ve c=5 ise a=7 ve b= 8 iken c sayısı kaçtır?

 

Çözüm:

 

• a sayısı b+2 ile doğru orantılı ise a/b+2=k ve a sayısı c-1 ile ters orantılı ise a.(c-1)=k olur.
• İki eşitliği birleştirirsek a/b+2.(c-1)=k elde edilir. Şimdi değerleri yerine yazalım.
• 3/4+2.(5-1)=k = 3/6.4=2=k olur. K sabitini 2 bulduk. Şimdi ikinci koşulda yerine yazıp c sayısını bulalım.
• 7/8+2.(c-1)=2 ve 7/10.(c-1)=2 ise her tarafı 7/10 ile bölelim ve c-1=20/7 bulunur.
• Ardından 1 sayısın karşıya atarsak 20/7+1=20/7+7/7=27/7 olarak bulunur. O halde c= 27/7 olur.

Uygulamalı Problemler

Bu başlık altında oran orantı ile ilgili karşılaşabileceğiniz problemlere yer verilir.

 

Örnek: 222 bilye; 4, 5 ve 6 yaşındaki çocuğa yaşlarıyla ters orantılı olacak şekilde paylaştırılıyor. Her bir kardeşe düşen bilye sayısını bulunuz.

 

Çözüm:

 

• Bu ifade ters orantılı ise 4.a =k ile gösterilir. (a sayısı 4 yaşındaki çocuk için bilye sayısını temsil eder.)
• Şimdi diğer çocuklar için de bilye sayılarını temsil eden harfleri yazalım.
• 5.b=k ve 6.c=k olsun. a=k/4 , b=k/5 ve c=k/6 olarak gösterilebilir.
• a+b+c=222 olduğuna göre orantıları toplayalım ve k sabitini bulalım.
• k/4+k/5+k/6=222 tabanları 60 sayısına eşitlersek 15k+12k+10k=222.60 olur. 37k=13320 ve her tarafı 37 bölersek k sayısı 360 bulunur.
• k sayısını bulduğumuza göre sırada çocuklara düşen bilye sayısını hesaplayalım.
• a=360/4=90 , b=360/5=72 ve c=360/6=60 olduğunu söyleyebiliriz.

 

Örnek: Bir izci kampında 12 kişiye 30 gün yetecek kadar erzak olsun. 6 gün sonra kamptan 4 kişi ayrıldığında kalan erzaklar geriye kalan izcilere kaç gün yeterli olur?

 

Çözüm:

 

• Burada ilk iş bu problemin doğru orantı mı ters orantı sorusu mu olduğunu anlamamız gerekir. Eğer kişi sayısı azalırsa erzakların sayısı artar. Çünkü ne kadar az kişi olursa yemek o kadar artacaktır. O halde bu soru ters orantı sorudur.
• Soruda verilenlerden 12 kişi ve 30 günlük erzak var. Daha sonra aradan 6 gün geçiyor. O halde artık 12 kişiye 24 gün yetecek yemek vardır. Kamptan 6 gün sonra 4 kişi ayrılırsa 8 kişi kalır. O halde 8 kişiye kalan yemek kaç gün yeterlidir?
• 12 → 24 ve 8 → x olur.
• Bu bir ters orantı ise 12.24=8.x olur.
• x sayısını yalnız bırakmak için her tarafı 8’e bölelim.
• İşlem uygulandığında x sayısı 36 olarak bulunur.
• Sonuç olarak kalan 8 kişiye yemekler 36 gün boyunca yeterli olacaktır.