Matematik aslında hayatın hemen hemen her anında karşılaşılan fakat genellikle ilk bakışta farkına varılamayan bir bilim dalıdır. Matematiğin aritmetik, cebir ve geometri gibi dalları neredeyse yaşanan her olayda bir şekilde karşımıza çıkar. Kısacası her şeyin bir matematiği vardır denilebilir. Matematikçiler de bu bilinçle hareket ederek birçok karmaşık probleme matematik aracılığıyla çözümler geliştirmiş ve bunları formülleştirmişlerdir. Küp açılımı formülleri de bunlar arasındadır.
Küp açılımı formüllerini öğrendiğin ve bol soru çözerek pekiştirdiğin takdirde hem sınavlarda başarıya bir adım daha yaklaşabilirsin hem de problemlere farklı bakış açılarıyla yaklaşma pratiği kazanabilirsin. Genellikle çarpanlara ayırma ve özdeşlikler konusu altında öğretilen bu formüller aslında matematiğin nispeten daha somut bir alt dalı olan geometriyle yakından ilişkilidir. Geometrik bir şekil olan ve birçok yerde karşılaşabileceğimiz küpün hacmiyle ilgili problemlere çözüm sağlamak için geliştirilmiş küp açılımı formülleri matematiğin ilgi çekici konuları arasında yer alır. Bu konuyla alakalı sorulara dikkatle ve çekinmeden yaklaşırsan çözümünün aslında hiç de zor olmadığını görebilirsin.
İçindekiler
Küp Açılımı Nasıl Yapılır?
Küp açılımı denilen kavram aslında boyutları farklı iki küpün hacimlerinin toplamının veya farkının ya da tek bir küpün hacminde meydana gelen değişimlerin özdeşliklerle ifade edilmesidir. Örneğin boyutları a birim olan bir küp ile bir boyutları b birim olan bir küpün hacimleri toplamı yani a^(3 )+ b^3, (a + b)(a^2 - ab + b^2) şeklinde çarpanlarına ayrılabilen bir ifadedir. Bu durumda a^(3 )+ b^3 ifadesi ile (a + b)(a^2 - ab + b^2) ifadesi özdeş ifadelerdir. Şimdi bir de bu küplerin hacimlerinin farkını ele alalım. a^(3 )- b^3 şeklinde gösterilecek olan hacimler farkı ise (a - b)(a^2 + ab + b^2) şeklinde çarpanlarına ayrılabilir. (1) Asıl mesele iki formülü de ezberlemek ve birbirine karıştırmamak diyebilirsin. Fakat iki özdeşliğin, - işaretinin yeri dışında aynı olduğunu, iki küp farkında - işaretinin daha önce olduğunu, özdeşliklerle birlikte not edersen bu özdeşlikleri daha iyi öğrenebilirsin. Çarpmanın dağılma özelliğini kullanarak birkaç defa sağlama yapılırsa bu özdeşlikler daha da pekişebilir.
Bir de tam küp özdeşliği denilen küp açılımı özdeşlikleri vardır. Bunlar iki terimin toplamının ya da farkının küpünün yani (a + b)^3 ün ve (a - b)^3 ün, çarpanlarına ayrıldığında neye özdeş olduklarını ifade eder. Buna parantez içi küp açılımı da denilebilir. Bir boyutu a + b birim olan bir küpün hacmi a³ + 3a² b + 3ab² + b³ ifadesiyle özdeştir. Bir boyutu a - b birim olan bir küpün hacmi ise a³ - 3a² b + 3ab² - b³ ifadesiyle özdeştir. Aslında burada, boyutları a + b birim veya a - b birim olan küplerin hacmi, boyutları a ve b birim olan geometrik şekillerin hacimleri kullanılarak gösterilmektedir. Buradan (a + b)^3 ün ve (a - b)^3 ‘ün, a³ ve b³ hacminde iki küp ve a² b ve ab² hacmine sahip prizmaların hacmi kullanılarak da gösterilebileceği sonucu ortaya çıkar (2).
Küp Açılımı Formülü
Şimdi bu formülleri daha iyi akılda tutabilmek adına bir arada gösterelim. Bu arada bazı ipuçlarımız da olacak.
Küpler toplamı özdeşliği: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
Küpler farkı özdeşliği: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
Tam küp özdeşlikleri:
İki sayının toplamının küpü: (a + b)³ = a³ + 3a² b + 3ab² + b³
İki sayının farkının küpü: (a - b)³ = a³ - 3a² b + 3ab² - b³
Dikkat edilirse tam küp özdeşliklerinin ortadaki terimlerinde 3ab ifadesi ortaktır. Bu sebeple bu terimleri 3ab parantezine aldıktan sonra tam küp formülü;
İki terimin toplamının küpü: (a + b)³ = a³ + b³+ 3ab (a + b)
İki terimin farkının küpü: (a - b)³ = a³ - b³ - 3ab (a - b) haline gelir.
Buradan da küpler toplamı ve farkı için birer özdeşlik daha ortaya çıkar. Bu özdeşlikler
Küpler toplamı özdeşliği: a³ + b³ = (a+b)³ –3ab(a+b)
Küpler farkı özdeşliği: a³ - b³ = (a -b)³ +3ab(a-b)
Son yazdığımız 4 özdeşlik, özellikle a ve b nin çarpımlarının ve toplamlarının verildiği sorularda büyük kolaylık sağlayabilir. Hangi özdeşliğin hangi soruda kullanılması gerektiği “soruda verilen bilgiler” ışığında anlaşılabilir. Şimdi çarpanlara ayırma ve diğer özdeşliklerle ilgili kısa bir hatırlatma yapalım ve ardından küp açılımı konusunu birkaç örnekle pekiştirelim.
Çarpanlara Ayırma, Özdeşlikler ve Formülleri
Çarpanlara ayırma işlemi matematikte oldukça sık kullanıldığından bu konuda işlem bilgi ve becerisine sahip olmak diğer konulardaki yorum süresini kısaltır ve işlem yeteneğini artırır. Çarpanlara ayırma, temelde bir veya birden fazla terimli ifadeleri, kendinden daha basit ve küçük olan ifadelere ayırmaktır. Yani büyük olan ifadenin bölenlerini bulmak ve çarpım halinde yazmaktır. Çarpanlara ayırma küp açılımı dahil birçok özdeşliği kapsar. Çarpanlara ayırmada en sık kullanılan 2 yöntem aşağıda belirtilmiştir.
- Ortak çarpan parantezine alma
- Gruplara ayırma
Ortak Çarpan Parantezine Alma
Çok terimli bir ifadenin terimlerinde ortak çarpan varsa her terim o çarpanların en büyüğüne bölünerek ortak çarpan parantezinde yazılır. Yani diğer bir ifadeyle her terimin ortak bölenlerinin en büyüğü (OBEB) bulunur ve bütün terimler bu ifadeyle sadeleştirilir. Örneğin 3a^2 + 6ab ifadesinin tüm terimlerinde ortak olan ifadelerden en büyüğü yani terimlerin OBEB’i 3a’dır. Hem 3a^2 hem de 6ab, 3a ile sadeleştirilir ve her sadeleştirmenin sonucu işaretine dikkat edilerek parantez içine alınır. 3a ise bu parantez içindeki ifadenin çarpanı olarak yazılır. Yani 3a^2 + 6ab ifadesi 3a(a + 2b) şeklinde çarpanlarına ayrılmış olur. (3)
Gruplara Ayırma
Bazen çok terimli ifadelerin her teriminde ortak olan bir çarpan bulunmaz. Bu tip ifadeleri çarpanlara ayırırken ortak çarpanı olan ifadeleri gruplandırmak gerekir. Bunun için de en az 4 terimli bir ifade verilmiş olmalıdır. Örneğin 3a + 3b+a^2 b^3+a^3 b^2 ifadesinin her teriminde ortak olan bir çarpan yoktur. Bu ifadeyi öyle 2’şerli gruba ayırmalıyız ki ayırdığımız bu gruplar daha sonra ortak çarpan parantezine alınabilsin. Bunun için 1. ve 2. terimi 3 parantezine, 3. ve 4. terimi ise a^2 b^2 parantezine alırsak;
3a + 3b+a^2 b^3+a^3 b^2= 3 (a+b)+a^2 b^2 (b+a)
= (a+b)(3+a^2 b^2) olur. (3)
Özdeşlikler
Özdeşlikler iyice öğrenildiği takdirde sınavlarda büyük zaman ve yetenek kazandıran denklemlerdir. Küp açılımı özdeşlikleri gibi oldukça basit olan bazı önemli özdeşlikleri hatırlayalım.
İki Kare Farkı ve Toplamı Formülleri
İki kare farkı: a^2-b^2= (a- b)(a+b)
İki kare toplamı: 〖 a〗^2+b^2=(a - b)^2 + 2ab
Tam Kare Açılımı Formülleri
İki terimin toplamının karesi: (a+b)^2=a^2 +2ab+b^2
İki terimin farkının karesi: (a-b)^2=a^2 -2ab+b^2
(4)
Küp Açılımı Örnekleri
Başta dediğimiz gibi küp açılımı özdeşlikleri dahil tüm özdeşlikler pratik yaparak pekişir. Pratik yaptıkça özdeşliklerin aslında hiç de zor olmadığını, farkındalık kazandıkça soruları çok kısa sürede çözebileceğini göreceksin. Şimdi birkaç örnek soruyla konuyu daha iyi anlamaya çalışalım.
Örnek: a^3-1 ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm: Bu ifade küpler farkı özdeşliğidir. Çünkü her iki terimin de kuvveti 3’dür (1^3=1). Bu durumda a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) özdeşliğinde b yerine 1 yazabiliriz. O halde cevap a^3-1 = (a - 1)(a^2 + a + 1) olur.
Örnek: a^6 + b^12 ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm: Bu ifade küpler toplamı özdeşliğidir. Çünkü her iki terim de kuvveti 3 olacak şekilde yazılabilir (a^6, a^2nin, b^12, b^4 ün küpüdür.) Bu durumda a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) özdeşliğinde a yerine a^2, b yerine b^4 yazarsak cevap a^6 + b^12= (a^2 + b^4)(a^4 - a^2 b^4 + b^8) olur.
Örnek: İki reel sayının çarpımlarının 12, toplamlarının 8 olduğu bilindiğine göre küplerinin toplamı kaçtır?
Çözüm: Bu soruda ilk bakışta bir küplü ifade açılımı fark edilemeyebilir. Fakat yazımızın başında, iki sayının çarpımlarının verildiği sorularda, son yazdığımız küpler toplamı özdeşliğinin kolaylık sağlayacağını belirtmiştik. O halde bu özdeşliği buraya yazıp verilenleri yerine koymaya başlayalım.
a³ + b³ = (a+b)³ –3ab(a+b) özdeşliğinde eşitliğin sol tarafı soruda istenen, sağ tarafı ise verilenleri kullanacağımız kısımdır. İki reel sayının çarpımı yani ab=12 olarak, toplamı yani a+b= 8 olarak verilmiş. Verilenleri yerine yazdığımızda özdeşlik;
a³ + b³ = 8³ –36⋅8 haline gelir. Buradan cevap a³ + b³ = 224 olarak bulunur.
Örnek: (2a-5b)^3 ifadesinin eşiti nedir.
Çözüm: Görüldüğü gibi bu ifade tam küp açılımı özdeşliklerinden iki terimin farkının küpü yani (a - b)³ = a³ - b³ - 3ab (a - b) özdeşliğidir. Bu özdeşlikte a yerine 2a, b yerine de 5b yazıldığında cevap (2a-5b)^3= 8a^3- 125b^3- 30ab(2a-5b) olur.
Kaynaklar:
Akın, M. F., Pesen, C. (2010). Özdeşliklerin Elde Edilmesinde Tam Küp Modelinin Öğrenme Ürünlerine Etkileri, Dicle Üniversitesi Ziya Gökalp Eğitim Fakültesi Dergisi, 14 (2010), s.97 (1)
Akın, M. F., Pesen, C. (2010). Özdeşliklerin Elde Edilmesinde Tam Küp Modelinin Öğrenme Ürünlerine Etkileri, Dicle Üniversitesi Ziya Gökalp Eğitim Fakültesi Dergisi, 14 (2010), s. 99,101 (2)
Doğan, A. Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler, https://acikders.ankara.edu.tr , s.1 (3)
Küçükkaya, H. İ., Karakoç, A., Girgiç, M. (2020) Antrenmanlarla Matematik (İkinci Kitap). İstanbul, Antrenman Yayıncılık (4)
Benzer İçerikler
