Mutlak değer konu anlatımı ile lise ve ortaokul müfredatında yer alan bilgileri öğrenebilirsiniz. Bu konu anlatımında mutlak değerin ne olduğunu, nasıl hesaplandığını ve matematiksel işlemlerde nasıl kullanıldığını ele alacağız.
İçindekiler
Mutlak Değerin Tanımı ve Özellikleri
Mutlak değer konu anlatımına geçmeden önce ilk olarak tanımına bakalım. Bir gerçek sayının sıfıra olan uzaklığını belirlemek için mutlak değerden yararlanılır. Sıfıra uzaklığı hesaplandığı için negatif bir sayı bulunmaz. Çünkü uzaklık negatif olmaz.
Mutlak değer |x| şeklinde bir sembolle ifade edilir. (Sayı doğrusunun sıfıra olan uzaklığı, bu tanımı aklınızda tutun.) Örneğin; |-5|=|5|. Peki, neden? Çünkü sayı doğrusunda;
Yukarıda da görüldüğü gibi -5 ve 5 sıfıra eşit uzaklıktadır.
Mutlak Değerin Özellikleri
Mutlak değer sorularını çözebilmek için aşağıda verilen özellikler öğrenilmelidir.
1) |x| ≥0. Nedeni uzaklık hesaplaması negatif olamaz. Mutlak ≥0 olur.
2) |x|=|-x|’tir. Nedeni sayı doğrusuna uzaklıklarda - işareti anlamı yok. Çünkü uzaklık ölçülüyor. Yani |7|=|-7|’dir. Bu da demek ki 7’nin 0 a uzaklığı ile -7’nin 0’a uzaklığı eşittir.
3) |x²|=|x|². Nedeni x zaten pozitif bir sayı mutlak içinde de dışında da. O halde bu şekilde de gösterilebilir.
4) |x.y|=|x|.|y|
5) |x/y|= |x| / |y|
6) |x-a|≤ c ifadesinde -c ≤ x-a ≤ c yazılabilir. Çünkü mutlak içindeki ifade, sayı doğrusunun negatif ve pozitif tarafında olabilir.
Mutlak Değerin Temel Kuralları
Mutlak değer sorularını çözerken temel kuralları bilmek önemlidir. Böylece hız kazanıp daha kısa sürede soruları anlayabilirsiniz. Bunlar arasında pozitif olma şartı, çarpma ve bölme işlemleri ve eşitsizlik kavramlarını görebilirsiniz.
Mutlak Değerin Pozitif Olma Kuralı
Sayı doğrusundaki uzaklığı belirlemek için kullanılır. Bu nedenle dışarı çıkarken kural uygulanır. Bunlardan eğer mutlak içi pozitif ise sayı dışarı olduğu gibi çıkar. Ancak mutlak içi negatif ise sayı önüne “-” işareti alarak dışarı çıkar. Örneğin:
x>5 ise; |x-5| = x-5 iken
x<5 ise; |x-5|= -(x-5) olur.
Çünkü içerisi negatif bir sayı ancak dışarı pozitif çıkmalı. Bu nedenle negatif sayılar “ - “ ile çarpılıp pozitife döner.
Çarpma ve Bölme İşlemlerinde Mutlak Değer
Çarpma işlemlerinde ise |x|.|y|=|-x|.|y|, |x|.|-y|=|-x|.|y| gibi ifadeler birbirine eşittir. Çünkü dışarı zaten pozitif çıkarlar. O nedenle içerideki işaretin önemi çarpma ve bölmede bulunmaz. Bu durum bölme için de geçerlidir.
Çarpma işlemi için örnek: |5|.|-7|=|-5|.|-7|
Çözüm: Mutlaktan dışarı çıkarken 5. -(-7) = -(-5).-(-7) yazılır. Burada “-” işareti içeri dağıtılırsa; 5.7=5.7 olur.
Bölme için örnek: |12|/|3|=|-12| /|-3|.
Çözüm: İfadeyi dışarı çıkaralım. İçerisi negatif olan sayılar önüne “-” alarak çıkar. O halde 12 /3= -(-12)/ -(-3) = 12/ 3 sonucu bulunur.
Eşitsizlikler ve Mutlak Değer
Eşitsizlik kavramı bir ifadenin küçüktür, büyüktür, küçük eşittir ya da büyük eşittir gibi sembollerle gösterimini içerir. Bunlar sırasıyla <,>, ≤, ≥ şeklindedir. Şimdi kurallarına bakalım.
|x-a|≤ c için -c ≤ x-a ≤ c => a-c ≤ x ≤ a+c (Burada x yalnız bırakılır.)
|x-a|≥ c için x-a ≥ c veya x-a ≤ -c (İfade sıfırdan büyükse iki durum vardır. Biri içerisi sıfırdan büyüktür diğeri ise dışarıya mutlak değerin içi negatiftir ve dışarıya işaret değiştirerek çıkar. )
||a| - |b|| ≤ |a+b| ≤ |a|+|b| (Burada bir sayıyı diğerinden çıkardığınızda toplamından küçük olduğu söylenir.)
Bu şekilde kuralları öğrenebilirsiniz. Şimdi örneklerine bakalım.
Örnek 1: |x-7|≤ 5 olsun. Burada x’in çözüm kümesini bulun.
Çözüm: (1) kurala bakarak -5≤ (x-7)≤ 5 yazılır. Ardından her tarafa +7 eklenir. Çünkü x yalnız kalmalıdır. -5+7≤ x-7+7≤ 5+7 ise 2≤ x≤ 12 olur. O halde çözüm kümesi=[2,12] olur. Burada x için aralıktaki tüm sayıları denklemde yerine koyarak sağlamasını yapabilirsiniz.
Örnek 2: |x-3|≥6 olsun. X değerlerini yazınız.
Çözüm: (2) kurala göre çözülür. Burada iki durum var. x-3≥6 olabilir. Ya da x-3≤-6 olabilir. Denklemler çözülürse x≥9 ve x≤-3 olur. x≤-3 yerine -3≥x yazılabilir. Aynı sonucu verir. O halde iki eşitsizlik birleşirse -3≥x ve x≥9, -3≥x≥9 bulunur. O halde x sayısı -3,-2,-1,1,2,3,4,5,6,7,8,9 alır. Ancak yerine konulduğunda |x-3|≥6 sadece -3, 9 sayısı denklemi sağlar.
Mutlak Değerli Denklemler
Mutlak değer içeren denklemleri çözebilmek için denklem bilgilerinizi gözden geçirebilirsiniz. Şimdi mutlak değer denklemleri nasıl çözülür, örneklerden bakalım.
x,a € R olsun;
- Eğer a≥0 durumunda |x|=a ise iki durum vardır. x=a ya da x=-a ‘dır. Biliyoruz ki mutlak içindeki sayı dışarı pozitif çıkar. Ancak içindeki sayı negatif olabilir. Bunun için başına “-” alır. O halde iki durum vardır.
- a<0 için ise |x|=a denkleminde çözüm küme boş kümedir. Herhangi bir sayı mutlak dışına negatif çıkamaz. Burada a sayısı negatiftir. Yani a= -3 ise |x|= -3 deniliyor. Sonuç sıfırdan küçük olamaz.
Mutlak Değerli Eşitsizlikler
Mutlak değer konu anlatımı eşitsizlikler kavramı nedir? Sayılar konusunda eşitsizlik kavramına benzerdir. Sadece işleme mutlak değer eklenir. Örneklerle konuyu pekiştirelim.
Örnek 1: |x|>5 ise, x’in ÇK nedir?
Çözüm: x değerleri için eşitsizliklerle ilgili verilen kurallar uygulanır.
x>5 ya da x<-5 denilir.
O halde x çözüm kümesi (-∞, -5) ∪(5, ∞) denilir.
Örnek 2: 2<|x+5|<12 için x’in ÇK nedir?
Çözüm: Mutlak değerin içerisi negatif veya pozitif olabilir. Ancak dışarı çıkarken pozitif olmalı. O halde iki durum incelenir.
- x+5 pozitif ise 2<x+5<12 eşitsizliği çözülür.
- x+5 negatif ise sayılar ve işaret değişir.
-2>x+5>-12 olur. Bu da -12<x+5<-2 yazılır. ve x yalnız bırakılıp çözüme gidilir.
-3<x<7 ve -17<x<-7 olur. ÇK (-3,7)∪(-17,-7) bulunur.
