Asal sayılar, iki çarpanı olan 1’den büyük doğal sayılardır. Bu doğal sayılar, sadece 1’e ve kendisine kalansız şekilde bölünebilir. Dolayısıyla kalan, ondalık veya kesirli bir sonuç vermeden başka pozitif tam sayılara bölünemez. Örneğin 13, sadece kendisine ve 1’e bölünebildiği için bir asal sayıdır. 1 veya kendisi dışındaki sayılara bölündüğünde mutlaka bir kalan verir. Bu sebeple 13’ü 2’ye böldüğünüzde 6 sonucunu elde ederken kalanı 1 olarak hesaplarsınız.
15 ise asal sayıya bir örnek değildir. Çünkü 5, 3, 1 ve kendisine bölünebilir. İkiden fazla çarpanı olduğu için bu sayı, bir bileşik sayı örneğidir. Özellikle denklem veya problem çözerken “asal sayı nedir?” sorusu aklınıza gelebilir. Asal sayılar genellikle matematikçiler tarafından sayı teorisinin “yapı taşları” olarak görülür (1). Aritmetiğin temel teoremi, bir bileşik sayının asal sayıların çarpımı olarak ifade edilebileceğini gösterir. Asal sayılar çoğunlukla şifreleme, şifre ve problem çözme, denklemler, çarpma ve deneme yöntemiyle çarpanlarına ayırma gibi birçok konuda kullanılır. Bu yazıda asal sayıların temel özelliklerinden hesaplama taktiklerine kadar birçok unsuru bulabilirsiniz.
İçindekiler
Asal Sayının Temel Özellikleri
Asal sayının en temel özelliği, 1’den büyük olmasıdır. Bu noktada sadece kendisine tam olarak bölünebildiği için “1 neden asal sayı değildir?” sorusu aklınıza gelebilir. Bu sorunun cevabı asal sayıların mutlaka 2 çarpanı olması gerektiği olarak verilebilir. 1 rakamının sadece bir çarpanı olduğu için asal sayı olarak adlandırılamaz. Bu özellikleri bilmeniz asal sayılarla ilgili matematik sorularına doğru yaklaşmak konusunda da size rehberlik edebilir. Asal sayıların diğer temel özellikleri aşağıda verilmiştir (1):
- 1’den büyük her sayı en az bir asal sayıya bölünebilir.
- 2, en küçük asal sayıdır.
- 2’den büyük her çift pozitif tam sayı, iki asal sayının toplamı olarak ifade edilebilir.
- 2 hariç diğer tüm asal sayılar tektir.
- Tek sayıların hepsi asal değildir.
- 5’den büyük hiçbir asal sayı 5 ile bitmez.
- Her bileşik sayı, asal çarpanlara ayrılabilir.
- 2 ve 3 ardışık asal sayılardır.
- 0 ve 1 dışındaki her tam sayı ya bileşik ya da asal sayıdır.
- Asal sayılar, birden büyük olan pozitif tam sayılardır. Bu sebeple negatif sayıların hiçbiri asal değildir.
1’den büyük olan tüm sayılar ya bileşik ya da asal sayılardır. Bileşik sayıların asal sayılardan farkı, birden fazla çarpanı olmasıdır. Aynı zamanda bileşik sayılar, tüm faktörlerine bölünebilir (1). Örneğin, asal olmayan ve birden fazla çarpanı olan 6 rakamı, 2, 3 ve 6’ya kalansız bölünebilir. Aralarında yalnızca bir bileşik sayı bulunan asal sayılara ise ikiz asal sayılar adı verilir (2). İkiz asal sayıların diğer tanımı, yalnızca aralarında iki fark olan sayılardır. Örneğin, aralarında sadece iki fark olduğu için 3 ve 5, ikiz asal sayılardır. Aşağıda ikiz asal sayı örnekleri verilmiştir (1):
- (5, 7) [ 7 - 5 = 2 ]
- (11, 13) [ 13 - 11 = 2 ]
- (17, 19) [ 19 - 17 = 2 ]
- (29, 31) [ 31 - 29 = 2 ]
- (41, 43) [ 43 - 41 = 2 ]
- (73, 71) [ 73 - 71 = 2 ]
Bunların yanı sıra en büyük ortak bölenleri 1 olan iki sayıya da aralarında asal sayı adı verilir. Örneğin ortak çarpanı sadece 1 olan 6 ve 13 aralarında asal sayılardır.
Asal Sayı Bulma Teknikleri
Asal sayıların tanımını bildikten sonra ufak işlemler yaparak size verilen rakamın asal olup olmadığını bulmanız oldukça kolay olur. Aşağıdaki iki yöntem, verilen sayının asal olduğunu belirlemeniz konusunda size yardımcı olabilir.
1. Yöntem:
2’nin tek çift asal sayı olduğunu biliyorsunuz. Bununla birlikte iki ardışık asal sayının 2 ve 3 olduğunu hatırladınız. Bunların dışında her asal sayı 6n+1 veya 6n-1 şeklinde yazılabilir. Asal sayıların katları hariç, buradaki n bir doğal sayıyı ifade eder (1):
- 6(1) - 1 = 5
- 6(1) + 1 = 7
- 6(2) - 1 = 11
- 6(2) + 1 = 13
- 6(3) - 1 = 17
- 6(3) + 1 = 19
- 6(4) - 1 = 23
- 6(4) + 1 = 25
2. Yöntem:
40’tan büyük olan asal sayıları belirlemek birçok matematik işleminde zorlayıcı olabilir. Bu zorluğu yaşamamak için formülünü kullanarak verilen sayının asal olup olmadığını kolayca belirleyebilirsiniz. Buradaki “n” 40’dan küçük sayıları ifade eder (1).
- (0)²+0+41 = 41
- (0)²+1+41 = 43
- (0)²+2+41 = 47
Bir Sayının Asal Olup Olmadığını Nasıl Anlarız?
Bir sayının asal olup olmadığını çarpanlara ayırma işlemini kullanarak hızlı şekilde anlarız (3). Bu işlemin en kolay yolu şöyledir:
- Verilen sayının çarpanlarını bulun ve listeleyin.
- Bu sayının toplam faktör sayısını kontrol edin.
- Yalnızca iki çarpanı varsa ve bu çarpanlar 1 ile birlikte verilen sayının kendisiyse çarpanlarını belirlediğiniz sayının asal olduğundan emin olabilirsiniz. Ancak ikiden fazla çarpan görüyorsanız bu sonuç, bileşik sayıya işaret eder.
Örneğin 63 sayısının asal olup olmadığı anlamak için öncelikle 63’ün çarpanları olarak 1, 3, 7, 9, 21 ve 63 belirlenir. 63’ün ikiden fazla çarpanı olduğuna göre bu sayı asal değildir. Eğer asal olup olmadığını belirlemek istediğiniz iki veya daha fazla basamağı olan bir sayı varsa aşağıdaki ipuçlarından faydalanabilirsiniz (4).
- İki veya daha fazla basamağı olan bir sayı 0, 2, 4, 6 rakamlarıyla bitiyorsa asal değildir. Bunlar, 2 ile bölünebilen çift sayılardır.
- Basamaklarını toplayıp 3’e böldüğünüzde tam bir sayı elde ederseniz işlem yaptığınız sayı asal değildir.
- İlk iki yöntemin sonucundan emin olmadığınız durumlarda sayının karekökünü alabilirsiniz. Karekök değerinin altındaki tüm asal sayıları listeleyin. Verilen sayıyı listelenen tüm asal sayılara bölün. Sayı karekök değerinden küçük asal sayılardan birine bölünürse asal değildir.
- Sonu 5 veya 0 ile biten iki veya daha fazla basamaklı bir sayı asal değildir.
Kaynaklar:
https://www.splashlearn.com/math (2)
Benzer İçerikler
