Bir sayının hangi sayılara bölünebildiğini bulmak, ilk başta uzun bir liste çıkarma işi gibi görünebilir. Aslında çarpanlar ve katlar konusu, sayıların düzenini fark etmeyi öğretir. Örneğin 24 sayısı, 3 × 8 veya 4 × 6 şeklinde yazılabilir. Bu çarpımların her birinde kullanılan sayılar 24’ün çarpanıdır. 24, 48, 72 diye devam eden sayılar ise 24’ün katlarıdır. Aradaki fark anlaşıldığında EBOB, EKOK ve problem soruları daha az karışır. Çarpanlar ve katlar konu anlatımı içeriğimizde paylaşacağımız bilgiler, kuralları nedenleriyle birlikte görmene yardımcı olacak.
İçindekiler
Çarpan ve Kat Nedir?
Bir doğal sayıyı kalansız bölen sayılara o sayının çarpanları ya da bölenleri denir. Örneğin 18’i kalansız bölen sayılar 1, 2, 3, 6, 9 ve 18’dir. Bunların hepsi 18’in çarpanıdır. Bir sayının katları ise o sayı sayma sayılarıyla çarpıldığında elde edilir. 18’in katları 18, 36, 54, 72 diye devam eder. Çarpanlar sınırlıdır; çünkü bir sayıyı kalansız bölen sayılar belli sayıdadır. Katlar ise sınırsızdır; çünkü çarpmaya devam edebilirsin.
İki kavramı ayırmak için kendine şu soruyu sor: “Bu sayı, elimdeki sayıyı kalansız bölüyor mu?” Cevap evetse çarpandan söz edersin. “Aradığım sayı, verilen sayının içinde kalansız bulunuyor mu?” diye düşünüyorsan katları araştırıyorsun demektir. Örneğin 6, 24’ün çarpanıdır; 24 ise 6’nın katıdır. Aynı iki sayı, bakış yönüne göre farklı isim alabilir. Çarpanlar ve katlar sorularında bu yönü belirlemek, işlemin yarısını çözmek gibidir.
Asal Sayılar ve Asal Çarpanlara Ayırma Nasıl Yapılır?
Asal sayılar, yalnızca 1’e ve kendisine kalansız bölünebilen, 1’den büyük doğal sayılardır. 2, 3, 5, 7 ve 11 asal sayıdır. 1 asal değildir; çünkü yalnızca bir pozitif böleni vardır. 2 ise çift olan tek asal sayıdır. Bu iki ayrıntı, özellikle testlerde sık karıştırıldığı için önemlidir. Bir doğal sayıyı asal sayıların çarpımı olarak yazmaya asal çarpanlarına ayırma denir.
Örneğin 60’ı asal çarpanlarına ayırmak için 60 = 2 × 30, 30 = 2 × 15, 15 = 3 × 5 şeklinde ilerleyebilirsin. Sonuç 60 = 2² × 3 × 5 olur. Burada 2, 3 ve 5; 60’ın asal çarpanlarıdır. Asal çarpanlara ayırma, tek tek yazma zahmetinden kurtararak işlemleri hızlandırır. Özellikle iki sayının ortak çarpanını ya da ortak katını ararken, bütün katları yazmak yerine bu çarpanları karşılaştırırsın.
EBOB ve EKOK Nasıl Bulunur?
EBOB EKOK konusunu ayırmanın en güvenli yolu, sorunun “ortak ve en büyük mü?” yoksa “birlikte ilk ne zaman?” mı dediğine bakmaktır. EBOB, iki ya da daha fazla sayının ortak bölenleri içindeki en büyük sayıdır. EKOK ise ortak katları içindeki en küçük sayıdır. Örneğin 12 ve 18’in ortak bölenleri 1, 2, 3 ve 6’dır. En büyüğü 6 olduğu için EBOB(12, 18) = 6’dır. 12 ve 18’in ortak katları 36, 72 diye devam eder; en küçüğü 36 olduğu için EKOK(12, 18) = 36’dır.
| İşlem | Hangi durumda düşünülür? | Örnek ipucu |
|---|---|---|
| EBOB | Bir şeyi eşit ve en büyük parçalara ayırma | “En fazla kaç gruba/parçaya ayrılır?” |
| EKOK | Tekrarlayan olayların yeniden aynı anda gerçekleşmesi | “İlk kez ne zaman birlikte olur?” |
Asal çarpan yöntemiyle EBOB bulurken ortak asal çarpanların küçük üslerini, EKOK bulurken tüm asal çarpanların büyük üslerini alırsın. 12 = 2² × 3 ve 18 = 2 × 3² ise EBOB için 2 × 3 = 6; EKOK için 2² × 3² = 36 yazılır. Bu kuralı kuru bir cümle gibi ezberleme. EBOB’da iki sayının gerçekten ortak olan en büyük parçasını, EKOK’ta ise iki sayıyı da içine alan en küçük ortak düzeni aradığını düşün.
EBOB ve EKOK Problemleri Nasıl Çözülür?
Problem sorularında asıl zorluk işlem yapmak değil, hangi işlemin gerektiğini anlamaktır. Aynı uzunluktaki kurdeleleri artmayacak şekilde en uzun parçalara ayırma sorusunda EBOB kullanılır. Çünkü her kurdeleyi bölen en büyük ortak uzunluğu ararsın. Biri 6 dakikada, diğeri 8 dakikada çalan iki zilin yeniden birlikte çalacağı zamanı soruyorsa EKOK kullanılır. Çünkü iki olayın aynı anda gerçekleşeceği ilk anı ararsın.
Bu tür sorularda işlem yapmadan önce verilenleri bir cümleyle özetle. “Paylaştırıyorum, en büyük eşit parça arıyorum” diyorsan EBOB; “Tekrar ediyor, yeniden aynı ana gelmesini arıyorum” diyorsan EKOK seç. Sonra sonucu sorunun birimiyle yaz. Zil sorusunda sadece 24 demek yetmez; 24 dakika sonra dersin. Bu küçük kontrol, doğru işlemi yapıp sorunun istediği cevabı vermeyi sağlar.
LGS’de Çarpanlar ve Katlar Soruları
Çarpanlar ve katlar soruları, çoğu zaman sadece bir tanımı sormaz. Tablo, sayı doğrusu, kart, şifre ya da günlük yaşam durumu içinde çarpan-kat ilişkisini fark etmeni bekler. Bu nedenle önce verilen sayıları sade biçimde yaz, gerekiyorsa asal çarpanlarına ayır ve sonra sorunun “en büyük”, “en küçük”, “ortak”, “kalansız” gibi kelimelerini işaretle. Birden fazla koşul varsa her koşulu ayrı satıra yazmak, gözden kaçırmayı azaltır.
Konuya çalışırken yalnızca aynı tip soruları art arda çözme. Birkaç çarpan bulma sorusunun ardından bir EBOB problemi, sonra bir EKOK tablosu çöz. Yanlışların tekrar ediyorsa, geçmiş konuları sıralı biçimde gözden geçirerek eksiklerini belirleyebilirsin. LGS çarpanlar ve katlar sorularında başarı, hızlı işlemden önce doğru ilişkiyi kurmakla başlar.
Çarpanlar ve Katlar Sorularında Sık Yapılan Hatalar
En yaygın hata, EBOB ile EKOK’u yalnızca harfleriyle ayırt etmeye çalışmaktır. Kısaltmalardaki harflere değil, sorunun mantığına odaklan. Bir başka hata da asal çarpanlarına ayırırken 1’i asal kabul etmektir. 1 asal sayı olmadığı için asal çarpan listesine yazılmaz. Ayrıca bir sayının kendisi ve 1 her zaman o sayının çarpanıdır; bunları unutmak çarpan sayısını eksik buldurur.
Çalışmayı bitirirken kendine iki kısa soru sor: “Soruda benden sınırlı sayıdaki çarpanları mı bulmam isteniyor, yoksa sonsuza giden katları mı?” ve “Bu problemde parçalara ayırma mı, birlikte tekrar etme mi var?” Cevabı açıklayabiliyorsan konu yerleşmeye başlamış demektir. Daha fazla örnekle EBOB ve EKOK yöntemini karşılaştırmak istersen EBOB EKOK konu anlatımı içeriğimize de göz atabilirsin.
