Mantık Konu Anlatımı

Önermeler ve Doğruluk Değerleri

Mantık nedir denildiğinde akla yanlış ya da doğru kesin hüküm bildiren ifadeler olduğu gelmelidir. Burada kesin hüküm bildirmesi en önemli özelliğidir.

 

Önermeler için p,q,r ve s gibi harfler çoğunlukla kullanılır. Ancak bunun dışında harfleri de görebilirsiniz. Bu önermeler eğer doğru ise “1” ve yanlış ise “0” ifadesi kullanılır.

 

Doğruluk değerleri kavramında ise iki değer birbirine eşitse bunlara eş veya denk önermeler denildiğini öğrenmelisiniz. Denklik kavramı ”≡” sembolüyle ifade edilir.

 

Bir diğer ifade ise “değili” ya da “olumsuzu” kavramlarıdır. Bunun için bir örneğe bakalım.

 

Örneğin; p≡ Türkiye’nin başkenti Ankara’dır. p’≡ Türkiye’nin başkenti Ankara değildir.

 

Örnekte görüldüğü gibi olumsuzu ifadesinde önerme üzerine bir kesik işareti alır ve gösterimi de bu şekildedir. Bu ifadeleri tablo üzerinden de görelim.

p	p'
1	0
0	1

Koşullu Önerme

Mantık konu anlatımı içerisinde önermeler belirli koşullara dayanabilir. Burada iki önerme arasında belirli bir koşul vardır.

 

• Gösterimi şu şekildedir: p → q
• Okunuşu ise “p ise q” olarak ifade edilir.

 

Burada ilk önerme için yani “p” öncül (koşul) iken “q” artıl (sonuç) olarak bilinir. Yani p önermesinin koşulu q önermesini sonuca bağlar.

 

Örnek: p≡ x>7 olsun. q≡ 2x>14 olsun.

 

p önermesinin doğru olduğunu varsayalım. Yani x, 7 ‘den büyüktür. O halde p=1 deriz. Çünkü doğruluk değeri 1’dir. Peki bileşik önerme içinde q’ya bakalım. Biz x>7 doğru dedik. O halde 2x>14 de doğrudur. Yani q=1’dir. Bu önermeye koşullu “ise” önermesi deriz. Çünkü p ise q sonucuna vardık. Eğer p doğruysa q da işleme devam etti ve sonuca ulaştı.

 

Bu ifadeyi tablo üzerinden sayısal olarak da görelim.

 

Şunu bilelim ki mantıkta kaç tane önerme varsa 2 üzeri n şeklinde gösterilir ve n yerine önerme sayısı yazılır. Burada p ve q iki önermedir. O halde n yerine 2 yazalım ve 4 olasılık çıksın.

p	q	p → q
1	0	0
0	0	1
0	1	1
1	1	1

Burada ilk önerme “1” diğeri “0” ise sonuç “0” ve her ikisi “0” ise sonuç yine “1” olur. Ancak eğer ilk önerme “0” ikinci önerme “1” ise sonuç daima “1” olur.

Karşıt Tersi

Mantık konu anlatımı içerisinde p ise q önermesi için karşıt tersi kavramına bakalım.

 

• Ve bağlacı için: p∧q karşıt tersi q’∨ p’ olur. Önermeler yer değiştirip değilini alır. “ve” ifadesi yerine “veya” gelir.
• Veya bağlacı için: q ∨ p karşıt tersi q’ ∧ p’
• İse bağlacı için: p⇒q karşıt tersi q’⇒p’ olur.

Bileşik Önermeler ve Bağlaçlar

Mantık konu anlatımı içerisinde iki veya daha fazla önermenin birbirine bağlanmasına bileşik önerme denildiği söylenir. Bu önermeler aralarında ve (∧), veya (∨), ancak ve ancak (⇔), ise (⇒) ifadeleri yer alır. Şimdi bunların ne anlama geldiğini ve sayısal sonuçlarını tabloda görelim.

p	q	p∧q	pVq	p⇔q	p⇒q
1	1	1	1	1	1
1	0	0	1	0	0
0	1	0	1	1	0
0	0	0	0	0	1

Açık Önermeler ve Niceleyiciler

Açık önermeler kavramı, mantık konu anlatımı içerisinde değişken bulunan durumlar olduğunda kullanılır. Eğer önerme içinde değişkenler varsa ve bu değişkenlerin aldığı değerler sonucunda “0” ya da “1” olduğu gösteriliyorsa bu ifade açık önermedir.

 

Mantık konu anlatımı içerisinde bulunan niceleyiciler kavramında ise günlük hayatta konuşan her, en az veya bazı kelimelerini kullanırız. Çokluk bildiren bu ifadeler için niceleyiciler kavramından söz edilir. Kavramlar için belirli semboller de bulunur. Bunlar;

 

• ∃: Bazı
• ∀: Her

 

Bu ifadelerin tersi ise;

 

• (∀x)’≡ ∃x’dir.
• (∃x)’≡ ∀x olur.

Aksiyom, Teorem ve İspat

Mantık konu anlatımı içerisinde aksiyom, teorem ve ispat kavramlarının tanımı verilerek kazanım bitirilir.

 

Aksiyom kavramı doğruluğunu ispat edemediğim ama varlığını kabul ettiğimiz önermelerdir.

 

Örnek: Bütün dik açılar eşittir. Her küme boş kümenin bir elemanıdır. 0 doğal bir sayıdır. Bu ifadelerde ispata gerek duyulmadan varlığı doğru kabul edilir.

 

Peki aksiyom ne işinize yarar? Eğer sorularda “p ≡ her küme boş kümenin bir elemanıdır.” önermesini görürseniz doğruluk değerinin “1” olduğunu söyleyebilirsiniz. Böylece sorunun devamını çözebilirsiniz.

 

Teorem kavramında ise varlığını ispat yapabileceğimiz önermeler önümüze çıkabilir. Burada ise koşullu önermesini ele alırız.

 

p⇒q önermesi için p, hipotez ve q, hüküm adını alır. Teorem kavramında hem hüküm hem de hipotez doğrudur.

 

Örnek: p ≡ a ve b çift sayıdır. q ≡ (a x b)=çift sayıdır. Burada p ⇒q ≡ a ve b çift sayı ise a ve b’nin çarpımı da çift sayıdır. İfadesi ortaya çıkar. Bunu ispat edebiliriz. a=2 b=6 olsun. O halde (a x b) = (2 x 6) =12. İspatı mümkün olduğu için teorem kabul edilir.

Mantık ve Matematiksel Kanıt

Matematikte bir denklemi ispatlayabilmek için mantık konu anlatımı içerisinde “ise” ve “karşıt ters” gibi kavramlar kullanılır. Bu ispat yöntemleri arasında;

 

• Doğrudan ispat
• Karşıt tersi ile ispat

 

Bunlarla ilgili örneklere bakalım.

 

Örnek: p⇒q için doğrudan ispat yöntemiyle p ve q ifadelerinin doğruluk değerlerine bakılır. Bunun için yukarda çözülen a ve b çift sayıdır örneğine bakabilirsiniz.

 

Peki mantık konu anlatımı için karşıt tersi ile nasıl ispat edilir? Onun için ise önermenin karşıt tersi alınır.

 

Örnek: p⇒q ifadesinin karşıt tersi için önce karşıtı alalım. q⇒p, ardından tersini alalım. q’⇒p’ olur.

 

Şimdi bunu örnekte görelim: p ≡ 9x-5 tektir. q ≡ x tektir ifadesini ispatlayın.

 

Bu soruda 9x-5 ifadesini kabul edip x tektir deyip ispat edemeyiz.

 

O nedenle karşıt ters ispatından yararlanalım.

 

Mantık konu anlatımı içinde p⇒q ifadesinin karşıt tersi q’⇒p’ şekilde gösterilir. Eğer x tek değilse 9x-5 tek değildir. İfadesine ispat etmemiz gerekir.

 

x=2k+2 diyelim. Çünkü x tek değilse çift kabul edelim.

 

O halde 9(2k+2)-5 için 18k+18-5=18k+13 olur. Buradan çift+tek = tektir, sonucu çıkar. O halde 9x-5 tek olur. O zaman p’=0 olur.

 

Yani p’≡ 0 ve q’≡ 1 ise yerine koyunca q’⇒p’≡ 0 çıkar.

 

O halde önermenin ilk hali olan p⇒q için de sonuç 0 dır. Çünkü p’ ≡ 0 ve q’ ≡ 0 ise p ≡ 1 ve q ≡ 0’dir. Yerine koyunca 1⇒0≡ 0

 

Sonuç olarak x tek ise 9x-5 tek değildir.