Üniversite sınavına hazırlık sürecinde geometri müfredatının kilit noktalarından biri çokgenler konusudur. Çünkü dörtgenler başta olmak üzere pek çok geometri konusunun mantığı aslında çokgenlerin içinde gizlidir. Geometrinin konu sıralaması içindeki yerini ve önemini detaylıca görmek istersen TYT Geometri Konu ve Soru Dağılımı içeriğimizi inceleyebilirsin.
Peki, adını sıkça duyduğumuz bu çokgen aslında nedir? Bir şeklin çokgen olup olmadığını anlamak için öncelikle sınırlarına, yani kenarlarına bakarız. Çember gibi eğri çizgiler barındırmayan, yalnızca doğru parçalarından oluşan ve açık ucu kalmayacak şekilde uç uca birleşerek kapanan her şekil bir çokgendir. Çokgenler konusu ilk bakışta açı formülleriyle dolu görünür; ancak bütün formüller, şekli köşelerinden çizilen doğrularla üçgenlere ayırma fikrinden doğar. Bu mantığı kurduğunda formülleri daha kolay hatırlarsın.
Sorularda en sık yapılan hata, iç açı, dış açı ve köşegen formüllerini birbirinin yerine kullanmaktır. Bunun önüne geçmek için soruda toplamın mı, bir açının ölçüsünün mü, yoksa çizilebilecek köşegen sayısının mı istendiğini önce belirlemek gerekir.
İçindekiler
Çokgen Nedir?
En az üç kenarlı kapalı düzlem şekillerine çokgen denir. Üç kenarlı çokgen üçgen, dört kenarlı çokgen dörtgen, beş kenarlı çokgen beşgen olarak adlandırılır. Çokgenin kenar sayısı ile köşe sayısı her zaman eşittir. Örneğin sekizgenin sekiz kenarı ve sekiz köşesi vardır. Kenarların birleştiği noktalar köşe, komşu iki kenarın iç bölgede oluşturduğu açıklıklar ise iç açı olarak adlandırılır.
Çokgenler dışbükey veya içbükey olabilir. Dışbükey çokgende bütün iç açılar 180 dereceden küçüktür; bir köşesinden çizilen köşegenler şeklin içinde kalır. İçbükey çokgende ise en az bir iç açı 180 dereceden büyüktür ve bazı köşegenler şeklin dışına taşabilir. Temel formüller, özellikle iç açı toplamı için her iki türde de geçerlidir. Fakat şekli doğru yorumlamak, hangi köşegenin içeride kaldığını anlamanda önemlidir.
Düzgün Çokgenlerin Özellikleri Nelerdir?
Düzgün çokgenler, bütün kenar uzunlukları ve bütün iç açıları eşit olan çokgenlerdir. Eşkenar üçgen, kare ve düzgün beşgen buna örnektir. “Bütün kenarlar eşit” bilgisi tek başına şeklin düzgün olduğunu kanıtlamaz; iç açıların da eşit olması gerekir. Benzer biçimde bütün açıları eşit olan her çokgenin kenarları da eşit olmayabilir. Sorudaki işaretleri ayrı ayrı kontrol etmek gerekir.
Düzgün çokgende simetri ve eşitlik ilişkileri daha belirgindir. n kenarlı düzgün çokgende her bir dış açı 360/n, her bir iç açı ise (n - 2) × 180/n ile bulunur. Örneğin düzgün altıgende bir dış açı 60, bir iç açı 120 derecedir. Bu değerleri ezberlemek yerine dış açıların tam tur yaptığında 360 dereceye ulaştığını düşünmek daha kalıcıdır.
Çokgenlerde İç Açı Toplamı Nasıl Bulunur?
Çokgenlerde açı sorularında en temel formül, n kenarlı bir çokgenin iç açıları toplamı için kullanılan (n - 2) × 180 formülüdür. Bunun nedeni, çokgenin bir köşesinden çizilen köşegenlerle n - 2 tane üçgene ayrılabilmesidir. Her üçgenin iç açıları toplamı 180 derece olduğundan, bu üçgenlerin toplamı da çokgenin iç açıları toplamını verir.
Örneğin yedigenin iç açıları toplamı (7 - 2) × 180 = 900 derecedir. Şekil düzgünse bu toplamı 7’ye bölerek bir iç açıyı bulabilirsin. Ancak soru “bir iç açı” değil “iç açıların toplamı” istiyorsa bölme yapman gerekmez. Sorudaki “toplam” ve “her bir” ifadeleri, hangi işlemi yapacağını doğrudan belirler.
| n kenarlı çokgen için | Bulma yolu | Ne verir? |
|---|---|---|
| İç açıların toplamı | (n - 2) × 180 | Tüm iç açıların toplamını |
| Düzgün çokgende bir iç açı | ((n - 2) × 180) / n | Bir iç açıyı |
| Dış açıların toplamı | 360 | Her dışbükey çokgende toplamı |
| Köşegen sayısı | n × (n - 3) / 2 | Tüm köşegen sayısını |
Çokgenlerde Dış Açı Toplamı Nasıl Kullanılır?
Bir çokgenin kenarları boyunca aynı yönde ilerlediğini düşün. Her köşede yön değiştirirsin ve şekli dolaşıp başlangıç yönüne döndüğünde toplamda bir tam tur atmış olursun. Bu nedenle dışbükey çokgenlerin dış açıları toplamı, kenar sayısı ne olursa olsun 360 derecedir. Bu bilgi, kenar sayısını bulma sorularında hızlı bir kontrol sağlar.
Örneğin bir düzgün çokgende her dış açı 24 dereceyse kenar sayısı 360/24, yani 15’tir. Dış açıyla iç açıyı aynı köşede topladığında 180 derece elde etmen gerekir. Bu bağlantı, tek bir açı verildiğinde diğerini bulmana yardım eder. Çokgenlerde açı sorularında önce verilen ölçünün iç açı mı yoksa dış açı mı olduğunu işaretle; yanlış formüle yönelme olasılığın azalır.
Köşegen Sayısı Nasıl Hesaplanır?
Köşegen, bir çokgende komşu olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasıdır. Bir köşeden kendisine ve komşu iki köşesine çizgi çizilemeyeceği için, n kenarlı çokgende her köşeden n - 3 köşegen çizilebilir. Ancak bu yöntemle her köşegeni iki kez saymış olursun. Bu yüzden toplam köşegen sayısı n × (n - 3) / 2 formülüyle bulunur.
Örneğin altıgenin köşegen sayısı 6 × 3 / 2 = 9’dur. Formülü uygularken önce n - 3 kısmını hesaplamak, işlem hatasını azaltır. Bir köşeden çizilebilecek köşegen sayısı ile bütün çokgendeki köşegen sayısını da birbirine karıştırma: Altıgende bir köşeden 3, toplamda ise 9 köşegen çizilir.
Çokgen Sorularında Formüller Nasıl Hatırlanır?
Bu konudaki formülleri tek tek ezberlemek yerine üç temel soruya bağla: “Kaç üçgen oluşur?”, “Tam tur kaç derecedir?” ve “Her köşegen kaç kez sayıldı?” İç açı toplamında üçgen sayısı n - 2’dir. Dış açıda tam tur 360 derecedir. Köşegen formülündeki 2 ise aynı köşegenin iki farklı köşeden sayılmasını düzeltir. Formüllerin nereden geldiğini bilirsen unutulduğunda mantığını yeniden kurabilirsin.
Düzgün çokgenler ve açı ilişkilerinde şekil çizmek, uzun bir işlemden daha çok işe yarayabilir. Kenar sayısını yaz, istenen açının iç mi dış mı olduğunu belirle, sonra uygun formüle geç. Ayrıca çokgenlerin ilerleyen geometri konularıyla ilişkisini görmek istersen AYT Geometri Konu ve Soru Dağılımı sayfasını da inceleyebilirsin. Bu çalışma biçimi, öğrendiklerini soru çözerken daha güvenli ve pratik bir şekilde kullanmana yardımcı olur.
