Katı Cisimler Formülleri Konu Anlatımı

Silindir

Silindir, iki paralel ve eşit büyüklükte daireden oluşan bir tabana sahip ve bu tabanların birleşiminde yer alan bir yan yüzeyi olan katı bir cisimdir. Silindirin tabanları daire şeklinde olup, yan yüzeyi ise bu dairelerin çevrelerinin birleşimiyle oluşan dikdörtgensel bir şekildir. Silindirin yüksekliği (h), taban dairelerinin merkezlerini birleştiren dik doğrusal mesafedir.

 

Dik Silindir

 

Dik silindir, silindirin tabanlarının merkeziyle yan yüzeyi arasındaki eksen (yükseklik) dikey olan şeklidir. Yani taban dairesine dik bir yükseklikle iki daireyi birleştirir.

 

Eğik Silindir

 

Eğik silindir, taban dairelerine dik olmayan bir yüksekliğe sahip olan silindirdir. Yani tabanlara eğik bir şekilde birleşen yan yüzeyi vardır. Eğik silindirin yan yüzeyine göre yüksekliği, tabanlara dik olacak şekilde ölçülmez. Bunun yerine silindirin ekseni ile tabanlar arasında bir açı bulunur.

 

Silindirin Yüzey Alanı

Bir silindirin yüzey alanı, yan yüzey alanı ve iki taban alanının toplamı ile hesaplanır.

 

• Yan yüzey alanı: Silindirin yan yüzeyi dikdörtgen şeklindedir ve bu dikdörtgenin bir kenarı silindirin yüksekliği h, diğer kenarı ise tabanın çevresi 2πr'dir.
• Taban alanı: Silindirin iki tabanı daire şeklinde olduğu için her bir tabanın alanı πr2'dir. İki taban olduğu için bu alanı ikiyle çarparız.

 

Yüzey alanı formülü: A = 2πrh + 2πr²

 

Burada:

 

• r: Taban yarıçapı
• h: Yükseklik

 

Örnek: Taban yarıçapı 3 cm ve yüksekliği 7 cm olan bir silindirin yüzey alanını hesaplayınız.

 

Çözüm: 

 

• A = 2π(3)(7) + 2π(3)²
• A = 2π(21) + 2π(9)
• A = 42π + 18π
• A = 60π cm²
• A ≈ 60 × 3.14 = 188.4 cm²

 

Silindirin Hacmi

Silindirin hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpımı ile hesaplanır. Bir taban daire olduğundan taban alanı πr2'dir ve hacim bu alan ile silindirin yüksekliği h'nin çarpımına eşittir.

 

Hacim formülü: V = πr²h

 

Burada:

 

• r: Taban yarıçapı
• h: Yükseklik

 

Örnek: Taban yarıçapı 4 cm ve yüksekliği 10 cm olan bir silindirin hacmini bulunuz.

 

Çözüm: r = 4 cm ve h = 10 cm olduğuna göre:

 

• V = π × 4² × 10
• V = π × 16 × 10
• V = 160π cm³
• V ≈ 160 × 3.14 = 502.4 cm³

Piramit

Piramit, tabanı çokgen olan ve tabandaki köşelerden yükselen kenarların bir noktada birleştiği üçgen biçimli yan yüzeylerden oluşan bir katı cisimdir. Piramidin tepe noktası, tabanın dışında kalan ve tabandaki her köşeye bir kenar ile bağlanan noktadır. Her piramidin tabanı bir çokgen, yan yüzeyleri ise üçgenlerden oluşur.

 

1. Taban Şekline Göre Piramitler

 

Piramitler tabanlarının şekline göre adlandırılır. Örneğin:

 

• Kare Piramit: Tabanı kare olan piramit.
• Üçgen Piramit: Tabanı üçgen olan piramit.
• Düzgün Dörtyüzlü: Tabanı ve yan yüzleri eşkenar üçgenlerden oluşan piramit.
• Beşgen Piramit: Tabanı beşgen olan piramit.
• Altıgen Piramit: Tabanı altıgen olan piramit.

 

Tabanın şekli, piramidin özelliklerini ve yüzey alanını doğrudan etkiler.

 

Kare Piramit

 

Kare piramit, tabanı kare olan ve bu kare tabanından tepe noktasına yükselen dört üçgen yan yüzeyi olan piramit türüdür. Yan yüzler eş üçgenlerden oluşur. Dik kare piramitin yüksekliği, tepe noktasından tabanın merkezine olan dik uzaklıktır.

 

Üçgen Piramit

Üçgen piramit, tabanı üçgen olan bir piramittir. Bu piramitte üç yan yüzey ve bir taban yüzeyi vardır. Yan yüzeyler yine üçgenlerden oluşur. Eğer taban ve yan yüzler eşkenar üçgenlerden oluşuyorsa bu piramit aynı zamanda düzgün dörtyüzlü olarak adlandırılır.

 

Düzgün Dörtyüzlü

 

Düzgün dörtyüzlü, dört yüzeyi de eşkenar üçgenlerden oluşan özel bir piramit türüdür. Bir düzgün dörtyüzlünün her kenarı eşit uzunluktadır ve bu nedenle simetrik bir yapıya sahiptir. Her bir köşe üç eşkenar üçgenin birleşme noktasıdır.

 

2. Dik ve Eğik Piramitler

 

Dik Piramit: Piramidin tepe noktası, tabanın merkezine dik bir şekilde yer alır. Yani, yükseklik tabanın tam ortasından geçer.

 

Eğik Piramit: Tepe noktası, tabanın merkezine dik olmayacak şekilde bir kenara doğru eğiktir.

 

Piramidin Yüzey Alanı

 

Bir piramidin yüzey alanı, taban alanı ile yan yüzeylerin alanlarının toplamıdır.

 

• Taban alanı: Piramidin tabanının şekline bağlıdır. Örneğin, kare tabanlı piramit için taban alanı A = a² (burada a, tabanın bir kenar uzunluğu).
• Yan yüzey alanı: Yan yüzeyler üçgenlerden oluştuğu için her üçgenin alanı hesaplanır ve toplam yüzey alanı bulunur

 

Yüzey alanı hesaplaması için piramidin yan yüz yüksekliklerine (şev yüksekliği) ihtiyaç duyulur.

 

Genel yüzey alanı formülü: Yüzey Alanı = Taban Alanı + Yan Yüzey Alanı

 

Örnek: Taban kenar uzunluğu 5 cm ve yan yüz yüksekliği (şev yüksekliği) 8 cm olan kare tabanlı bir piramidin yüzey alanını hesaplayınız.

 

Çözüm:

 

• İlk olarak taban alanını hesaplayalım: a² = 5² = 25 cm²
• Yan yüzey alanını hesaplayalım: Yan yüzeyler, tabanın kenar uzunluğuna sahip dört adet üçgen yüzeyden oluşur. Her bir üçgenin alanı: (1/2) × 5 × 8 = 20 cm²
• Dört yan yüzeyin toplam alanı: 4 × 20 = 80 cm²
• Toplam yüzey alanı: 25 + 80 = 105 cm²

 

Piramidin Hacmi

 

Bir piramidin hacmi, taban alanı ile piramidin yüksekliğinin çarpımının üçte biri ile hesaplanır. Bu formül, tabanın şekli ne olursa olsun geçerlidir.

 

Hacim formülü: Hacim = (1/3) × Taban Alanı × Yükseklik

 

Örnek 1: Taban kenar uzunluğu 6 cm ve yüksekliği 9 cm olan kare tabanlı bir piramidin hacmini bulunuz.

 

Çözüm: Öncelikle taban alanını bulalım.

 

• Taban Alanı = 6² = 36 cm²
• Hacim = (1/3) × 36 × 9 = 108 cm³

 

Örnek 2: Taban alanı 20 cm² ve yüksekliği 12 cm olan bir üçgen piramidin hacmini bulunuz.

 

Çözüm: Hacim = (1/3) × 20 × 12 = 80 cm³

Koni

Koni, bir daire tabanlı ve bir tepe noktasına kadar daralan katı bir cisimdir. Tabanı bir daireden oluşur ve bu dairenin çevresindeki noktalar, koninin tepe noktasına bağlanarak yan yüzeyi oluşturur. Koni, bir tabanı ve bir tepe noktası olan üç boyutlu bir şekildir.

 

Dik Koni

 

Dik koni, tepe noktasının taban dairesinin merkezine dik olduğu koni türüdür. Bu durumda koninin yüksekliği, taban dairesinden tepe noktasına çekilen dik doğru parçasıdır. Dik koninin simetrik yapısı nedeniyle hesaplamaları daha kolaydır.

 

Eğik Koni

 

Eğik koni, tepe noktasının taban dairesinin merkezine dik olmadığı, yani bir kenara doğru eğilmiş bir koni türüdür. Eğik koninin yüksekliği, tepe noktasından taban düzlemine indirilen dik doğru parçasıdır.

 

Koninin Yüzey Alanı

 

Bir koninin yüzey alanı, taban dairesinin alanı ve yan yüzey alanının toplamı ile hesaplanır.

 

• Taban alanı: Tabanı bir daire olduğu için, dairenin alanı πr²'dir. Burada r, taban dairesinin yarıçapıdır.
• Yan yüzey alanı: Yan yüzey, bir dairesel sektör şeklinde olup, bu alan πrl ile hesaplanır. Burada l, koninin şev yüksekliği (tepe noktasından tabana olan eğik uzunluk) olup, l = √(r² + h²) ile bulunur.

 

Yüzey alanı formülü: A = πr(r + l)

 

Burada:

 

• r: Taban yarıçapı
• l: Şev yüksekliği (eğimli uzunluk)

 

Örnek: Taban yarıçapı 3 cm ve şev yüksekliği 5 cm olan bir dik koninin yüzey alanını bulunuz.

 

Çözüm:

 

• Yüzey alanı formülünü kullanıyoruz: A = πr(r + l)
• Burada r = 3 cm ve l = 5 cm
• A = π × 3 × (3 + 5) = π × 3 × 8 = 24π cm²
• Yaklaşık olarak π = 3.14 alırsak: A ≈ 24 × 3.14 = 75.36 cm²

 

Koninin Hacmi

 

Bir koninin hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpımının üçte biri ile hesaplanır. Bu formül, silindirin hacim formülüne benzer, ancak koni yalnızca silindirin üçte biri kadar hacme sahiptir.

 

Hacim formülü: V = (1/3)πr²h

 

Burada:

 

• r: Taban yarıçapı
• h: Yükseklik (tepe noktasından tabanın merkezine dik uzaklık)

 

Örnek: Taban yarıçapı 4 cm ve yüksekliği 9 cm olan bir dik koninin hacmini bulunuz.

 

Çözüm:

 

• Hacim formülünü kullanıyoruz: V = (1/3)πr²h
• Burada r = 4 cm ve h = 9 cm.
• V = (1/3)π × 4² × 9 = (1/3)π × 16 × 9 = (1/3) × 144π = 48π cm³
• Yaklaşık olarak π = 3.14 alırsak: V ≈ 48 × 3.14 = 150.72 cm³

Küre

Küre, uzayda her noktası merkezden eşit uzaklıkta olan ve tam yuvarlak bir yüzeye sahip üç boyutlu bir geometrik cisimdir. Kürenin dış yüzeyi sürekli bir eğri oluşturur ve yüzeydeki tüm noktalar merkezden eşit uzaklıktadır. Bu uzaklığa yarıçap (r) denir. Küre, en simetrik üç boyutlu cisimlerden biridir ve hem hacim hem de yüzey alanı hesaplamaları kolaydır.

 

Kürenin Yüzey Alanı

 

Kürenin yüzey alanı, yarıçapın karesinin dört katı ve π (pi) sayısı ile çarpımıyla bulunur.

 

Yüzey alanı formülü: A = 4πr²

 

Burada:

 

• r: Kürenin yarıçapı
• π: Pi sayısı (yaklaşık olarak 3.14)

 

Örnek: Yarıçapı 5 cm olan bir kürenin yüzey alanını hesaplayınız.

 

Çözüm:

 

• Yüzey alanı formülünü kullanıyoruz: A = 4πr²
• A = 4π × 5² = 4π × 25 = 100π cm²
• Yaklaşık olarak π = 3.14 alırsak: A ≈ 100 × 3.14 = 314 cm²

 

Kürenin Hacmi

Kürenin hacmi, yarıçapın küpünün dört bölü üç katı ve π (pi) sayısı ile çarpımıyla hesaplanır.

 

Hacim formülü: V = (4/3)πr³

 

Burada:

 

• r: Kürenin yarıçap
• π: Pi sayısı (yaklaşık olarak 3.14)

 

Örnek: Yarıçapı 6 cm olan bir kürenin hacmini hesaplayınız.

 

Çözüm:

 

• Hacim formülünü kullanıyoruz: V = (4/3)πr³
• V = (4/3)π × 6³ = (4/3)π × 216 = 288π cm³
• Yaklaşık olarak π = 3.14 alırsak: V ≈ 288 × 3.14 = 904.32 cm³

Prizma

Prizma, iki paralel ve eşit çokgen tabana sahip, tabanlarını birleştiren dik ya da eğik kenarları olan üç boyutlu bir katı cisimdir. Prizmanın yan yüzeyleri, tabanları birbirine bağlayan dikdörtgensel ya da paralelkenar şeklinde olabilir. Prizmalar taban şekline ve prizmanın dik ya da eğik olup olmamasına göre sınıflandırılırlar.

 

Taban Şekline Göre Prizmalar

Prizmalar, tabanlarının şekline göre adlandırılır. Örneğin:

 

• Üçgen Prizma: Tabanları üçgen olan prizmadır.
• Dikdörtgen Prizma (Paralelopiped): Tabanları dikdörtgen olan prizmadır. Aynı zamanda kutu şeklinde de tanımlanabilir.
• Kare Prizma: Tabanları kare olan prizmadır.
• Beşgen Prizma: Tabanları beşgen olan prizmadır.
• Altıgen Prizma: Tabanları altıgen olan prizmadır.

 

Taban çokgeni ne olursa olsun, yan yüzeyleri genellikle dikdörtgensel ya da paralelkenar şeklinde olacaktır.

 

Dik ve Eğik Prizmalar

 

Dik Prizma: Yan yüzeyleri tabana dik olan prizmadır. Yani tabanlardan biri üzerinde yükseklik dikey olarak ölçülür. Yan yüzeyleri dikdörtgendir.

Eğik Prizma: Yan yüzeyleri tabana dik olmayan, yani prizmanın yüksekliğinin eğik olarak ölçüldüğü prizmadır. Yan yüzeyleri genellikle paralelkenardır.

 

Prizmanın Yüzey Alanı

 

Bir prizmanın yüzey alanı, taban alanları ile yan yüzey alanlarının toplamıdır. Her prizmanın iki tabanı olduğundan taban alanı iki kat alınır ve yan yüzeylerin alanları ile toplanır.

 

Yüzey Alanı Formülü:

 

• Yüzey Alanı = 2 × Taban Alanı + Yan Yüzey Alanı
• Yan Yüzey Alanı = Taban Çevresi × Yükseklik

 

Örnek: Taban kenar uzunlukları 3 cm ve 5 cm, yüksekliği 10 cm olan bir dikdörtgen prizmanın yüzey alanını hesaplayınız.

 

Çözüm:

 

• Taban Alanı = 3 × 5 = 15 cm²
• Taban Çevresi = 2 × (3 + 5) = 16 cm
• Yan Yüzey Alanı = Çevre × Yükseklik = 16 × 10 = 160 cm²
• Yüzey Alanı = 2 × Taban Alanı + Yan Yüzey Alanı
• Yüzey Alanı = 2 × 15 + 160 = 190 cm²

 

Prizmanın Hacmi

 

Bir prizmanın hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpımı ile hesaplanır. Taban alanı, prizmanın tabanının şekline bağlı olarak hesaplanır.

 

Hacim Formülü: Hacim = Taban Alanı × Yükseklik

 

Örnek: Taban kenar uzunlukları 4 cm ve 6 cm, yüksekliği 8 cm olan bir dikdörtgen prizmanın hacmini bulunuz.

 

Çözüm:

 

• Taban Alanı = 4 × 6 = 24 cm²
• Hacim = Taban Alanı × Yükseklik
• Hacim = 24 × 8 = 192 cm³

 

Prizmanın Köşegenleri

 

Bir prizmanın köşegeni, tabanlardan bir köşeden başlayıp diğer tabanın zıt köşesine kadar uzanan çizgidir. Dikdörtgen prizma gibi düzgün yapılı prizmaların köşegen uzunlukları Pisagor teoremi kullanılarak hesaplanabilir.

 

Dikdörtgen prizmanın köşegeni için formül: √(a² + b² + h²)

 

Burada:

 

• a: Taban uzunluğu
• b: Taban genişliği
• h: Yükseklik