İrrasyonel Sayılar Nedir? Özellikleri Nelerdir?

İçindekiler

Reel ve Reel Olmayan Sayılar Nelerdir?

Sayı kümeleri rasyonel sayılar, doğal sayılar, negatif tam sayılar, pozitif tam sayılar, karmaşık sayılar, irrasyonel sayılar, tam sayılar ve kesirli sayılar olarak sınıflandırılır. Tüm bu sınıfı kapsayan küme ise reel sayılar kümesi olarak adlandırılır. -1 sayısının karekök karşılığı reel sayılar kümesinde bulunmadığından ”i” sembolü ile gösterilir. Bu tip sayılara ise reel olmayan sayılar veya gerçek olmayan sayılar adı verilir. Onluk sayma sisteminde yer alan 0 ile başlayıp 9’da biten tam sayı kümesi elemanları yan yana getirilerek sonsuz biçimde çeşitli tam sayılar oluşturmak mümkündür. Oluşturulan tüm tam sayılar kesirli rasyonel sayı olarak adlandırılır.

İrrasyonel Sayı Nedir?

Rasyonel sayılar kümesi dışında kalan, tam sayı değeri taşımayan ve virgüllü basamak değeri sonsuza kadar devam eden sayılara ise irrasyonel sayı denir. Bunun yanı sıra kesirli ifadelerde pay ve payda kısmındaki sayılar birbirine oranlandığında tam sayı değeri vermeyen ve virgülden sonraki basamak değeri sonsuza kadar düzensiz şekilde devam eden sayılar da irrasyonel sayılar olarak adlandırılır. İrrasyonel sayılar matematiksel hesap gerektiren işlemlerde ve bilimsel çalışmalarda kullanılır. İrrasyonel sayı simgeleri “Q” veya “I” olarak belirlenmiştir. Bu sayılar hiçbir zaman sabit bir değer ifade etmez. Günlük hayatta irrasyonel sayılarla karşılaşmak zordur. Genel irrasyonel sayılar dışında, köklü veya üslü olarak ifade edilen özel değere sahip irrasyonel sayılar da bulunur. Özel değere sahip bu sayılar, genellikle bilimsel çalışmalarda ve ileri düzey matematik hesaplamalarında karşımıza çıkar. Bazı özel irrasyonel sayılar çeşitli bilimsel denklemlerde de kullanılır. Bu sayıları sabit değere getirmek ise denklem çözümünü kolaylaştırır. Ayrıca irrasyonel sayılar kümesi de sonsuz değere sahiptir.

İrrasyonel sayıların ne olduğunu net bir biçimde anlayabilmeleri için öncelikle rasyonel sayılar kümesini öğrencilere anlatmak doğru bir tercih olabilir. Rasyonel sayılar kümesi, iki farklı tam sayının birbirine bölünmesiyle elde edilen sayılar olarak tanımlanır. Rasyonel kelimesinin kelime anlamı da “kesirli” demektir. Birbirine oranlanan tam sayılarda virgülden sonraki değer sabit ve sonsuza kadar uzanıyorsa, virgülden sonraki değer sabit bir şekilde devam ettiği ve sayı kesirli olarak ifade edilebildiği için bu sayıya rasyonel sayı denilebilir.

Rasyonel sayılar dışında kalan ve kesirli olarak net bir şekilde ifade edilemeyen sayılar ise irrasyonel sayılardır. Sadece tanımla anlaşılması zor olan irrasyonel sayıları örnekler üzerinden anlatmak daha kolaydır. Ayrıca irrasyonel sayılar oransız sayılar olarak da adlandırılır. İrrasyonel sayılar kümesi sınırsız terim içerir. Tüm irrasyonel sayıları bir arada bulmak veya yazmak mümkün değildir. Rasyonel olmayan sayılar kümesinin tamamını oransız sayı olarak adlandırmak da mümkündür. Bunun yanı sıra iki irrasyonel sayının çarpımı ile rasyonel bir sayı bulunabilir. Aynı şekilde diğer dört işlemde de irrasyonel sayılardan rasyonel sayı elde edilebilir. Ayrıca büyük işlemleri kolay bir şekilde yapmayı sağlayan logaritma basamağında kullanılan e sayısı, şekillerin hacim ve geometri hesaplamalarında kolaylık sağlayan pi sayısı gibi sayılar irrasyonel sayılara örnek olarak verilebilir. Özel olan irrasyonel sayılarla kısa sürede dört işlem yapabilmek için çeşitli denklemleri bilmek gerekir. Bunun yanı sıra irrasyonel sayılar kümesi ile rasyonel sayılar kümesinin birleşimi ise reel sayılar kümesini oluşturur.

İrrasyonel Sayıların Özellikleri

Rasyonel sayılar kümesinin sonsuz şekilde devam etmesinin sayı düzlemini tamamen dolduracağı düşünülür. İki kesirli sayı arasında sonsuz sayıda kesirli denklem bulunmasına rağmen, iki kesir arasında da sonsuz sayıda irrasyonel sayı yer alır. Rasyonel sayılar irrasyonel sayılarla karıştırılsa da bu iki sayı türü birbirinin yerine geçemez. İrrasyonel sayı özellikleri şu şekilde sıralanabilir:

İrrasyonel sayılar reel sayılar kümesinin bir parçasıdır. İrrasyonel sayılarda sonu gelmeyen ve belli bir düzen içinde tekrar etmeyen virgül sonrası basamak değerleri yer alır. İrrasyonel sayılarda ondalık basamak bölümü hiçbir zaman sona ermemektedir.
İrrasyonel sayılar hiçbir zaman kesirli bir biçimde ifade edilemez.
Rasyonel sayı ve irrasyonel sayı toplamının sonucu her zaman irrasyonel bir sayı olur. Aynı şekilde çarpma işlemi sonucunda da irrasyonel sayılara ulaşılır.
İki adet irrasyonel sayının kendi aralarında ortak katları bulunabilir. Ancak bunu belirlemek için uygulanan matematiksel işlemler biraz zaman alabilir.
Tam kare sonucu vermeyen tüm köklü sayılar da irrasyonel sayı olarak adlandırılır. Örneğin kök 4 sayısı kök içinden iki olarak çıkarken kök 93 sayısı kök dışına virgüllü ve sonsuz basamak değeriyle çıktığı için irrasyonel sayı olarak adlandırılır.
Sadece 1 ve kendisine bölünebilen sayı olarak adlandırılan asal sayıların ise karekökü her zaman irrasyonel sayıdır.
Rasyonel sayılar kümesi, tam sayılar ve doğal sayılar kümesini kapsar. İrrasyonel sayılar kümesi ise bu üç kümeden ayrı şekilde sınıflanır.
İrrasyonel sayılarla gündelik hayatta karşılaşmak zordur. İrrasyonel sayılar genellikle bilimsel ve matematiksel çalışmalarda kullanılır.
İrrasyonel sayılarda, pay ve payda değerleri bilinmediği için ilgili sayıyı kesirli olarak ifade etmek mümkün değildir.

İrrasyonel Sayı Örnekleri

İrrasyonel sayılar arasında özel sayılar da yer alır. Belirlenen özel sayılar pi sayısı, e sayısı ve altın oran sayıları şeklinde sıralanabilir. Bu özel sayılar çeşitli matematik hesaplamalarında kolaylık sağlar. Sonsuz basamaklara sahip matematiksel işlemleri kısaltan ve kısa sürede sonuç bulmaya yardımcı olan özel sayıların hepsi oransız sayı türü özelliğindedir. Zaman içinde matematik alanında çeşitli işlemler sonucu bulunan denklemlerle ortaya çıkan özel sayılar da hiçbir zaman kesir şekilde ifade edilemez. Bunun yanı sıra bir kök sayısının karışık yapıda olmasına bakarak bu sayı irrasyonel sayıdır demek doğru değildir. Burada önemli olan sayı üzerinde yapılan sadeleştirme işlemleriyle kesirli denklem elde etme durumunun incelenmesidir. İrrasyonel sayılara; karekök 2, karekök 3, pi sayısı, e sayısı, küpkök 7, küpkök 64, 56,8722569932548… ve 1,548932547789… sayıları örnek olarak verilebilir. Bir sayının irrasyonel sayı olduğunu anlamak için kesirli ifade elde edilmemesi gerekir. Kesirli sayılar aynı oranlarda genişletilerek veya sadeleştirilerek tam sayı sonuç elde edilmiyorsa sayının irrasyonel sayı olduğu anlaşılır.

İrrasyonel sayılarla yapılacak işlemler için belirli bir matematik donanımına da sahip olmak gerekir. Öğrenciler bu deneyimi çeşitli soru tiplerini çözerek tamamlayabilir. Bunun yanı sıra örnek olarak; karekök 0,016 sayısında kök ifade içinde ondalık basamakta çift sayı bulunmasının bazı durumlarda yapılacak işlemler sonucu rasyonel sayı bulunabileceği düşünülür. Bu yaklaşım yanlıştır. Kök içinde yer alan sayının ondalık basamağının tam kare olmasının yanı sıra ondalık kısmın basamak değerine de bakılır. Kök içinde kalan ondalık basamak sayısı sonsuza doğru devam eden virgüllü yaklaşık bir değere sahip olduğu için sayı türü irrasyonel olarak bulunur. Bunun yanı sıra sıfır ile yapılacak dört işlem dışında rasyonel bir sayı ve irrasyonel sayı arasında yapılacak çarpma, bölme, çıkarma ve toplama işlemlerinde de sonuç her zaman irrasyonel sayı olarak bulunur.