TYT Matematik konuları arasında en çok zorlanılan kısım problem çözme becerisi edinmek oluyor. Bu durumun üstesinden gelebilmek için sözel olarak verilen ifadeyi matematiksel forma getirebilmeyi öğrenebilmeniz gerekir. Matematik problemleri başlığının ilki olan sayı problemleri ile başlayabiliriz.
İçindekiler
Temel Kavramlar
Problem çözmeye başlamadan önce soruda verilen ve istenilen bilgileri tespit etmek gerekir. Bu aşamada sayı problemleri için verilen temel kavramları öğrenebilirsiniz. Bu kavramlar arasında değişken, bilinmeyen sayı, istenen sayı ve sayı kümelerine göz atalım.
Bilinmeyen Sayılar ve Değişkenler
Sayı problemleri üzerinde bilinmeyen sayılar ve değişkenler sık rastlanan durumdur. Örneğin, “Bir sayının iki katı kaçtır?” denildiğinde bir sayının ne olduğunu bilmiyoruz, bu bilinmeyen bir sayıdır. Bilinmeyen sayıya atayabileceğiniz sembol bulmalısınız. Örneğin; x, y, z, a ve b gibi harfleri kullanabilirsiniz. Değişken denilen ifade ise bu sembollere verilen isimdir.
İlk örneği matematiksel ifade edersek; bir sayının iki katı = x.2 = 2x olarak gösterilebilir.
Tek ve Çift Sayılar
Tek ve çift sayılar üzerinde sıklıkla denklemlerde kullanabileceğimiz kavramlardır. Bu nedenle temel kavramlar konusunu hatırlayabilir ve burada üzerinden geçebilirsiniz.
- Tek sayılar için n€Z olmak üzere 2n+1 şeklinde yazılabilen sayılara tek sayı denir. Örneğin; 1, 3, 5, 7 gibi sıralanabilir.
- Çift sayılar için n€Z olmak üzere 2n şeklinde yazabileceğiniz sayılara ise çift sayı denir. Örneğin; 0, 2, 4, 6, 48, 52 gibi sıralanabilir.
Not: 2 ile bölünebilen sayılara çift sayı ve 2 ile bölünemeyen sayılara ise tek sayı denir.
Ardışık Sayılar
0’dan başlayarak birer defa artırılan ya da azaltılan sayılara ardışık sayı denir. Örneğin; 1, 2, 3, 4, 5 .. ya da 13, 12, 11, 10 gibi yazılabilir. Değişken içeren ardışık sayılar için n, n+1, n+2, n+3 şeklinde sembolize edilebilir. Azalan ardışık sayılar için ise n+5, n+4,n+3 şeklinde yazabilirsiniz. Sayı problemleri çözerken soruya uygun şekilde değişkenler seçebilirsiniz.
- Ardışık Tek Sayılar: 2n+1, 2n+3, 2n+5 şeklinde ifade edilen sayılar için kullanılabilir. (n€Z)
- Ardışık Çift Sayılar: 2n, 2n+2, 2n+4, 2n+6 şeklinde ardışık şekilde artan sayılara ardışık çift sayı denir. (n€Z)
Asal Sayılar
Kendinden ve 1 sayısından başka böleni olmayan sayılar için kullanılan bir kavramdır. Örneğin; 3, 5, 7, 11, 13 gibi sıralanabilir. Asal sayılar içerisinde dikkat edilmesi gereken bazı durumlar vardır.
- Çift sayılar içerisinde asal olan sadece bir sayı vardır. O sayı ise 2’dir.
- 1 ve 0 sayısı asal sayı olarak kabul edilmez. Asal sayılar içerisinde bu kurallara dikkat edebilirsiniz.
Pozitif ve Negatif Sayılar
Sayı problemleri çözerken borç, ödeme, gelir, gider ve kazanç gibi terimlerle karşılaşabilirsiniz. Bunun için pozitif ve negatif sayıları öğrenmek gerekir.
- Negatif sayılar: Başında - bulunan sayıları temsil eder. Örneğin; -4, -3, -5/2 gibi.
- Pozitif sayılar : Başında + veya bir şey bulunmayan sayıları temsil eder. Örneğin; 12, 9/14 gibi.
Not: Borç, ödenek, gider ve zarar terimleri negatiflik; gelir, kazanç ve kar gibi terimler pozitifliği ifade eder.
Sayı Problemlerinde Denklem Kurma
Sayı problemleri üzerinde matematiksel denklem kurabilmeniz için sık kullanılan ifadelere göz atabilirsiniz. Denklem içinde bilinmeyen bulunan eşitliklere denilebilir. Ayrıca bir veya daha fazla bilinmeyen ve derece içeren denklemler de kurulabilir.
Burada bu tarz sözel ifadeleri matematiksel dile çevirebilirsiniz. Önemli olan kısım verilen soruyu sırasıyla okuyabilmek ve adım adım işlemi yapabilmektir.
Bir Bilinmeyenli Denklemler
Sayı problemleri çözerken bir bilinmeyenli denklemlere rast gelebilirsiniz. Bir bilinmeyenli denklem içerisinde sadece bir tane değişken bulunan kavramlara denir.
Soru: Bir sayının 5 fazlası 7 sayısına eşit ise x=?
Çözüm:
- Sözel verilen ifadeyi matematik diline çevirelim. x+5=7 ise x=?
- O halde x’i yalnız bırakmak için her tarafa -5 ekleyelim. x=2 olur.
İki Bilinmeyenli Denklemler
İki bilinmeyenli denklemlerde iki farklı değişken bulunur. Bu durumda sayı problemleri çözerken iki farklı denklemle karşılaşabilirsiniz.
Soru: Ayşe, Sıla, Ömer ve Faruk toplam 60 liraya sahiptir. Ayşe’nin parası, Ömer’in parasının 2 katından 3 fazladır. Sıla’nın parası ise Faruk’un parasının 5 katına eşittir. Ayşe ile Faruk’un parası birbirine eşit ise Sıla’nın kaç parası vardır?
Çözüm: Burada 4 farklı insan vardır. Ömer’in parasına x diyelim. Ayşe’nin parası Ömer’in 2 katından 3 fazla ise Ayşe’nin parası 2x+3 olduğunu söyleyebiliriz. Faruk’un parasına y diyelim. Sıla ise 5y olur. Ayrıca Ayşe ve Faruk’un paraları eşit olduğu bilinir.
- 2x+3 = y olur. y’yi yerine yazalım.
- x+(2x+3)+y+5y= 50
- y yerine (2x+3) yazalım.
- x+(2x+3)+(2x+3)+5.(2x+3) = 5x+6+10x+15 = 15x+21=51 olsun.
- x’i yalnız bırakırsak x=2 bulunur. y ‘yi denklemde yazarsak 2.2+3=7 =y olur.
- Sılanın kaç parası olduğu isteniyorsa 5y=5.7=35 olur.
Bu sayede iki bilinmeyen içeren denklemler kurabilir ve tek bilinmeyene indirgeyerek sayı problemleri çözülebilir.
Kesirli Sayı Problemleri
Sayı problemleri arasında daima tam sayılar çıkmayabilir. Bunun için kesir içeren ifadelere de denk gelebilirsiniz. Şimdi bir örnek görelim.
Soru: Nevzat bir bütün pastanın 1/2'sini, Nesli ise aynı pastanın 1/3'ünü yiyor. O halde geriye pastanın kaçta kaçı kalmıştır?
Çözüm:
- Pastanın bütününe a diyelim.
- Ayşe a/2 ve Nesli a/3’ünü yiyor. Bu ikisini toplarsak pastadan ne kadar yenildiği öğrenilebilir. Paydaları eşitleyerek sonuca gidilebilir. a/2+a/3= 3a+2a/6=5a/6 dilim yenilmiştir.
- Pastanın tamamı a ise geriye kalan kısımı bulabilmek için yenilen kısmı çıkaralım. a-5a/6= 6a-5a/6= a/6 bulunur.
- Pastadan geriye a/6 kısım kalır.
Ardışık Sayı Problemleri
Bu kısımda da ardışık sayı içeren sayı problemleri içi örnekler görelim.
Soru: Ardışık üç sayının toplamı 12 ise en büyük sayının değeri nedir?
Çözüm: Ardışık sayıların değerini bilmediğimiz için değişken verelim. İlk sayı n olsun. n, n+1,n+2 olarak sıralanır. Bu sayıların toplamı 12 ise; 3n+3=12, 3n=9 ve n=3 olduğu bulunur. Bizden soruda en büyük sayıyı istiyor. Sayılar sırasıyla 3,4,5’dir. En büyük o halde 5 olur.
Soru: Ardışık 5 çift sayının toplamı 40 ise ortanca sayı nedir?
Çözüm: Soruda ilk olarak 5 çift sayı sıralamalıyız. Bunu 2n, 2n+2, 2n+4, 2n+6, 2n+8 şeklinde yazabilirsiniz. Ancak toplarken işlemde kolaylık elde edebilmek için; 2n-4, 2n-2, 2n, 2n+2, 2n+4 şeklinde de ardışık şekilde 5 çift sayı oluşturabilirsiniz. Şimdi bu sayıları toplarsanız; 10n=40 elde edilir. n sayısı 4 olarak bulunur. Bizden ortanca sayı isteniyor. En ortada bulunan çift sayı 2n’dir. n sayısını yerine yazarsak 2.5 =10 elde edilir.
Bu şekilde ardışık sayıları toplarken bilinen değerleri yok edecek terimler seçerek sorunun çözümüne kısa yoldan ulaşabilirsiniz.
Orantı ve Sayı Problemleri
Orantı kavramı, iki çokluğun birbirine eşit olma durumunu temsil eder. Sayı problemleri çözerken oran orantı ifadelerini görebilirsiniz. Şimdi orantı kavramını kullanabileceğiniz bir problem çözelim.
Soru: Anne ve babaları çocuklarını sevindirmek için eve ekler alarak dönerler. Alınan 30 tane ekler, 12 ve 8 yaşındaki iki çocuğa yaşlarıyla ters orantılı olacak şekilde dağıtılacaktır. Bu durumda büyük kardeşe kaç adet ekler verilir?
Çözüm: Ters orantı denklemlerinde; x.y=k olarak denklemi kuruyoruz. İlk olarak A, küçük kardeşin alacağı ekler sayısı; B ise büyük kardeşin ekler sayısı olsun.
- A.8= B.12 =k olduğunu biliyoruz. Burada k değerini sayıları tam bölebilmek için ortak bölen olan 24 seçelim. k ifadenin sabit değeridir.
- Yani sabit değerin katsayısı 24 olsun. A.8= B.12 =24k ise A=3k ve B=2k bulunur.
- Biliyoruz ki tüm ekler 30 taneydi.
- A+B=30 ise 3k+2k=30 ve 5k=30 ise k=6 bulunur.
- Bizden büyük kardeşin aldığı ekler sayısı isteniyor.
- O halde B değerini bulalım. B = 2k idi. k yerine yazarsak 12 bulunur. Küçük kardeş ise 18 tane ekler alır.
Karma Sayı Problemleri
Sayı problemlerinde çok çeşitli sorular bulunur. Tüm sorular için uygun denklem kurulduğunda çözüm oldukça basitleşir. Bu kısımda sayı problemleri ile ilgili karma sorulara bakabilirsiniz.
Soru: Bir saatin fiyatı bir yüzüğün fiyatının 4 katından 7 TL fazladır. Saat ve yüzüğün toplam fiyatı 27 $ olduğuna göre, yüzüğün fiyatı kaç $’dir?
Çözüm: Saat: S ve Yüzük: Y olsun.
- Y=4S+7 şeklinde bir denklem kurulur. Ardından Y+S=27 ise Y yerine 4S+7 yazalım. 5S+7=27 olur.
- Gereken sadeleştirme sonucunda S= 4 olur. Y ise Y=4S+7 denkleminde yerine yazılır. Böylece 23 bulunur.
Soru: Homojen bir telin ucundan 1/16'sı kesilince ağırlık merkezi 6 cm kayma yaşıyor. Buna göre telin uzunluğu toplam uzunluğu nedir?
Çözüm: Telin uzunluğu 16x olsun. Yarısı 8x diğer yarısı 8x olur.
- Eğer ucundan 1/16 kesilirse geriye 16x– 16x.1/16= 15x kalır.
- Bu halde yeni telin yarısı 15/2.x ve diğer yarısı 15/2.x olur.
- Orta nokta 6cm kaymışsa 8x-15/2.x=6 olur. (Her iki yarım arasında karşılaştırma yapılır.)
- Sonuç x/2=6 olur. x o halde 12 bulunur. O halde telin ilk boyu 16.12=192 bulunur.