Rasyonel Sayılar Konu Anlatımı

Rasyonel Sayı Nedir?

TYT matematik konuları arasında yer alan rasyonel sayıların ilk olarak tanımından başlayalım. Rasyonel sayı olarak adlandırılan kavram, iki tam sayı arasında geçiş oranı ifade eder. Eğer a ve b tam sayı ve b sıfırdan farklı ise (b sayısı sıfır olamaz. Eğer b sayısı sıfır olarak ifade edilirse tanımsız olur) bu sayılara rasyonel sayı denilir. O halde 0,1,2….. şeklinde ilerleyen tam sayılar için rasyonel sayılar ifadesi de kullanılabilir. Örneğin; 6 sayısışeklinde ifade edilebilir. Bu işlemi tüm tam sayılar üzerinde uygulayabilirsiniz.

 

• Her tamsayı ve doğal sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır da denebilir. Çünkü sayılar kümesinde rasyonel sayılar; doğal sayıları ve tam sayıları kapsar.

 

Peki bu ifade nasıl okunur? Rasyonel bir sayıyı okumak için önce pay ardından bölü ifadesi ve en son payda söylenir. Pay dediğimiz kısım nerededir? Pay denilen terim, kesirin üst kısmındaki sayıdır, payda ise kesirin alt kısmında yer alan sayı için kullanılır. Örneğin; 7 bölü 5 diye okunan bir sayının gösterimişeklindedir.

 

Şimdi gelin birlikte bu sayılar arasında yapılacak dört işlem uygulamalarına geçelim.

Rasyonel Sayılarda Toplama-Çıkarma İşlemleri

İlk olarak rasyonel iki sayıyı toplarken veya çıkarırken paydalar eşit edilmelidir. Aksi halde iki farklı payda arasında işlem yapılamaz. Eğer paydalar eşit değilse genişletme veya sadeleştirme yollarına başvurulur. Örneğin,

Örnekte verilen matematiksel işlemi inceleyelim. Burada payda(alt) kısımları eşit olduğu için genişletme veya sadeleştirme yapılmadan paylar(üstler) toplanmış ve işlemin sonuna eklenmiştir. Pay ise aynen kalmıştır.

 

Bir örnekte çıkartma işlemi için bakalım.

Burada yapılacak kural toplama işlemiyle aynıdır. İlk olarak paydaya bakılır, payda eşit değilse paydalar eşitlenir. Ardından işleme devam edilir. Pay kendi arasında çıkarılarak payda ise olduğu gibi sonuca yazılır.

Burada paydalar 6 olacak şekilde genişletilir. İşlem çıkartma olduğu için 10 sayısı 24 sayısından küçüktür o nedenle başına eksi alır. Dolayısıyla çıkartma işlemleri sırasında uygulanan kuralları olduğu gibi burada da yapabilirsiniz. Şimdi genişletme ve sadeleştirme içeren örneklere bakalım.

 

Rasyonel Sayılarda Genişletme veya Sadeleştirme Nasıl Yapılır?

 

Aşağıdaki örnekte paydaların eşit olmadığını görebilirsiniz. İşlemi devam ettirmek için paydaları eşitlemek gerekir. Burada 5 ve 2 asal bir sayı olduğu için sadeleştirme yapılamaz o halde genişletme yapacağız.

İlk olarak ortak bir payda bulmalıyız. Bu işlem için ortak payda 10 olur. Şimdi her iki rasyonel sayıyı payda 10 olacak şekilde genişletelim.

İşlem yapıldıktan sonra kesirli sayıların paydaları eşit olacak şekilde genişletilmiş olur. O halde toplama işlemini yapmaya başlayabiliriz.

Buradan gördüğüm üzere paylar(üstler) kendi arasında payda(alt) ise sonuca direkt eklenerek işlem tamamlanmış olur.

 

Sadeleştirme için bir örnek;

Burada (8 bölü 12) ifadesini 4’e bölerek sadeleştirme yapılabilir. Böylece payda da 3 olacak şekilde sadeleşmiş olur. Bu sayede paydalar ortak olur.

İşlemin devamında sayılar toplanabilir hale gelir.

Böylece sonuç 2 olarak bulunur.

 

Not: Eğer ifade sadeleştirme yapıldığı halde paydalar eşit değilse o zaman uygun bir çarpanla yeniden genişletme yapılabilir.

Rasyonel Sayılarda Çarpma-Bölme İşlemleri

Kesirli sayılarda çarpma işlemi yapabilmek için paydanın eşit olması gerekmez. Direkt sayılar sadeleştirme yapılıyorsa sadeleştirir yoksa kendi aralarında çarpılarak işleme devam edilir. Şimdi bunu bir örnekte görelim. Örnek:

Bu ifadede pay ve payda ayrı olacak şekilde kendi arasında çarpılır ve sonuca yazılır.

Eğer şıklarda (14 bölü 30) yoksa sadeleştirilmiş şekli istenmiştir. Bu ifadede sayıyı iki ile sadeleştirerek

sonucuna ulaşabilirsiniz.

 

Peki bölme işleminde hangi kural uygulanır. Bir örnekle inceleyelim.

Burada işlem yaparken ilk ifade aynen yazılır. Ardından ikinci ifade ters çevrilip çarpılır.

Yani ifadeyi yukarıdaki gibi bir duruma getirmemiz gerekir. Daha sonra aynen çarpma işleminde verilen kural uygulanır.

Burada işlemi daha kısa şekilde çözebilmek için sadeleştirme de yapabilirsiniz. Yani, 50 sayısını 25 bölerseniz pay da 2 sayısı, 3 sayısını 6 ile bölerseniz paydada 2 sayısını görebilirsiniz. O halde 2 bölü 2 ifadesinden sonuç 1 bulunur.

İşlem Önceliği

Dört işlem önceliği tam sayılarda olduğu gibi rasyonel ifadelerde de yapılır. Bunun için işlem önceliğini hatırlayalım.

 

• İlk olarak parantez içinde bulunan ifadeler varsa bunlarla işleme başlanır.
• Eğer işlem içerisinde üslü bir ifade görürseniz bu işlemle devam edilir.
• Daha sonra işlem üzerinde çarpma ve bölme gerektiren sayılar varsa ardından bunları ele alabilirsiniz.
• Son olarak toplama ve çıkarma işlemi yapılarak sonuca ulaşabilirsiniz.

 

Rasyonel ifadeler içinde işlem önceliğini anlatan bir örnekle devam edelim. Örnek:

Burada ilk olarak en dıştaki parantez ile başlayalım. Ardından üssü ifadeyi alıp son olarak 4 bölü 3 ifadesiyle çarpıp işlemi sonlandırabiliriz.

 

İlk olarak üssü ifade işlemi yapılır.

Ardından işlem toplama olduğu için paydalar eşitlemek gerekir. Gelin paydaları eşitleyelim.

Paydalar eşitlendiğine göre ifadeyi artık toplayabiliriz.

Ulaştığımız bu sonucu (4 bölü 3) ile çarparak işlemi bitirebilirsiniz.

Rasyonel Sayılarda Üs

Kesirli olarak ifade edilen sayılarda üs almak için ilk olarak üslü ifadeler konusuna göz atabilirsiniz. Çünkü yapılacak işlemler benzer olacaktır. Şimdi kesirli sayılar için pozitif bir üs nasıl alınır ona bakalım. Ardından negatifler için durum ne oluyor inceleyebilirsiniz. Örnek:

Kesirli ifadelerde üs alınırken pay kendi arasında payda kendi arasında işleme dahil olur. O halde burada pay kısmında bulunan 1 sayısının karesi pay kısmına, paydada bulunan 5 sayısının karesi ise paydaya yazılır.

Bu sayede işlemin sonucuna varılır.

 

Peki eğer üs negatif olursa ne olur? Bir örnekte bakalım.

Eğer üs ifadesi negatif ise ilk olarak ifadeyi ters çevirmemiz gerekir. Bu sayede (-) ifadesinden kurtuluruz. O halde;

sonucuna ulaşılır. Şimdi bu sayının 3 üssünü alabiliriz.

Burada yine pay kendi arasında, paydada kendi arasında 3 kuvvetini alır ve sonuç kısmında ilgili yere yazılır. Böylece sonuca ulaşılır. Bu örnekler sayesinde hem kare hem de küp üssü almayı öğrenmiş olursunuz.

Rasyonel Sayılarda Sıralama

Rasyonel sayılar arasında sıralama yapabilmek için pay ya da paydalardan biri eşit olmalıdır. Böylece kıyas yapılacak durum ortaya çıkar.

Şimdi pay kısımları eşitlenen bir örneğe bakalım.

verilen a, b ve c ifadelerini büyükten küçüğe olacak şekilde sıralama yapınız.

 

İlk olarak soruda paydalar eşitleniyor mu bakalım. Paydalar da bulunan 2 , 3 ve 6 sayısının ortak çarpanı 6 olur. O halde payda kısmını tüm sayılar için 6 olacak şekilde düzenleyelim.

Şimdi a, b ve c sayılarını karşılaştırabiliriz. Burada paydalar eşitse paylar kendi arasında karşılaştırılır ve payı büyük olan sayı büyük olarak kabul edilir.

 

Dolayısıylaolduğunu söyleyebiliriz.

 

Peki eğer paydalar değilde payları eşit olsaydı ne olurdu? Şimdi gelin payları eşit edilebilen bir örneğe bakalım.

Soruda verilen a, b ve c ifadelerini büyükten küçüğe olacak şekilde sıralamasını yapınız.

 

Şimdi bu ifadede paydalar için ortak çarpan bulmak zor olur. O nedenle payları eşitlenebilir mi, ona bakalım. Bu ifadede paydaları 8 olacak şekilde eşitleyebiliriz.

olur.

 

Burada sıralama yapabilmek bir kural öğrenmemiz gerekir. Eğer sayılar arasında sıralama yapılırken paylar eşitse; paydası büyük olan sayı, küçük sayı olarak kabul edilir.

 

O halde olduğusöylenebilir.

 

Meraklısı için bu kuralın nedeni şöyle açıklanabilir. Şimdi payları eşit hale getirdikten sonra artık 1 olarak kabul edelim. Çünkü işlemi onları kıyaslamadan devam edeceğiz.

 

O haldeolur. Şimdi burada 5, 6 ve 28 sayılarının çarpma işlemine göre tersi alınmıştır. 

 

Yani eğer sayılar a=5, b=6 ve c=28 olsaydı sonuç a<b<c olmasını sağlar. Ancak sayılar çarpma işlemine göre terstir. O halde işlemin yönü değişir. Bu da sonucun a>b>c olmasını sağlar.