Polinom Konu Anlatımı

Polinom Nedir?

Polinom genel görünüm itibariyle bağımsız değişkenlerden ve sabit sayıdan oluşur. Gerçek katsayı içeren polinomlar bir bilinmeyen taşıyan ifadelerdir.

Polinom Olma Şartları

Denklemin polinom şartını taşıyabilmesi için temelde dört kural bulundurur. Bunlardan bahsetmek gerekirse;

 

• Polinom içeren ifadeler sonlu sayıda terim içermelidir. Sonuç olarak sonsuza uzanan terimler varsa bunlar polinom grubuna girmez.
• Dereceler her zaman tam sayılı terim içermelidir. Polinom kavramında yer alan değişkenlerin kuvvetleri her zaman tam sayı olmalıdır. Bu ifadeler ya sıfır ya da pozitif tam sayıları kapsar. Negatif tam sayılarda kabul edilmez.
• Değişken ve sabit terimler polinomlarda birlikte bulunmalıdır. Kavram olarak sabit bir sayı ve değişken terimlerin bütününü içerir.
• Değişkenlerin katsayıları; tam, rasyonel, karmaşık veya gerçek sayılardan seçilir. Eğer kesirli bir ifade varsa bu kabul edilmez.

Polinom Terimleri ve Katsayılar

ifadesi üzerinden polinom terim ve katsayılarını tanıyabiliriz.

 

Polinom derecesi: Bilinmeyenlerin üslerine bakarak dereceleri görebiliriz. değişkeninde kare ifadesi var. O halde bu polinom ikinci dereceden polinom içerir.

 

Polinom terimleri: Burada 4x ve 1 ifadeleri denklemin terimleridir.

 

Polinom katsayıları: Denklemlerin terimlerinde bulunan baş sayılar katsayıdır. O halde sırasıyla 2 ve 4 ve 1’dir. 1 sayısı burada sabit terim olarak geçer.

 

Polinomun sabit baş katsayısı: Denklemin derecesi en büyük olan değişkenin katsayısını taşır. Burada en büyük dereceye sahiptir. O halde onun katsayısı baş katsayı olarak kabul edilir.

Polinomlarda İşlemler

Polinomlu ifadelere belirli kurallar uygulayarak dört işleme hazır hale getirebiliriz.

 

Polinomlarda Toplama ve Çıkarma

 

Polinom konu anlatımı boyunca toplama ve çıkarma işlemi bilinen temel dört işlem uygulanarak yapılır. Ancak burada bilinmeyenler, katsayılar ve sabit sayılar bulunduğu için teker teker inceleyebiliriz. Bu durumu bir örnekle açıklayalım. Örnek:

P(x)+Q(x)=?

Sonuç olarak:

 

• Polinomlarda toplama çıkarma yapabilmek için derecelerin eşit olması gerekir. Derecesi eşit olan ifadeler kendi aralarında toplanıp, çıkarılabilir.
• Sabit sayılar kendi arasında toplanıp çıkarılır.

 

Çıkarma işlemi için de yine aynı yol izlenir. Sadece sayılar arasındaki işlem (+) değil de (-)’dir.

Polinomlarda Çarpma ve Bölme İşlemi

Polinom konu anlatım kısmında şimdi de çarpma ve bölme işlemine bakalım. Çarpma işlemi uygulanırken her terimi diğer polinomun terimleriyle tek tek çarpar ve sonuca eklenir. Bir bilinmeyenli denklemde bu durum nasıl yapılırdı? Örneğin;

ifadesine bakalım. Burada yapacağımız yöntem şu şekildedir.

Yani her terimi kendi arasında çarpıp toplamaya dahil ediyorduk. Sonuç olarak çarpma işleminde dağılma özelliği kullanılır. Benzer terimler birbiriyle toplanıp sonuca yazılır.

Aynen bunun gibi polinomlarda da çarpma işleminde dağılma özelliğini kullanarak ifadeleri çarpacağız.

 

Şimdi bir de bölme işlemi için bir örneğe bakalım.

ifadesinde P(x) ÷ D(x)= ?

 

Burada bizden istenen aslında aşağıdaki polinomsal denklemin çözümüdür. O halde bölümünü gerçekleştirelim.

Biliyoruz ki bir bölme işleminde bölünen, bölen, bölüm ve kalan ifadesi vardır. Şimdi bunu polinomlarda da görelim.

ifadesinde;

 

• P(x) bölünecek polinom
• D(x) bölen polinom
• Q(x) bölüm polinomu
• R(x) kalan polinom olsun.

 

Böylece ifadeyi bölerek bölen, bölüm, kalan polinomları bulunabilir.

 

Polinomlarda Kalan Bulma Yöntemleri

 

Polinomlarda kalan bulabilmek için P(x) polinomunda (x-a) bölümünden kalan nedir denilirse burada yapılması gereken şey bölümü 0’a eşitlemektir. (x-a)=0 ise x=a yazılır. Bulunan x değerini polinomda yazarak kalanı bulabilirsiniz.

Polinomların Özellikleri

Dört işlemin ardından bir de bazı özel denklemlere sahip ifadeler vardır. Şimdi onlara bakalım.

 

Polinomun Derecesi

 

En büyük üsse sahip olan ifade polinomun derecesini gösterir. Bunu bir örnekte inceleyelim.

burada en büyük üssü sahip olan ifadesidir. O halde polinomun derecesi 3’tür.

 

Sabit Polinom ve Sıfır Polinomu

 

Polinom konu anlatım içinde birbirine en karıştırılan kısım burasıdır. Ancak aşağıdaki örneklerle bu konuyu basitleştir anlamanızı sağlayalım. İlk olarak sabit polinomdan bahsedelim.

 

Bu polinomda denklemin içinde herhangi bir bilinmeyen bulunmamalıdır. Örneğin; P(x)=7, Q(x)=10 gibi ifade olmalıdır. Burada x yerine ne yazılırsa yazılsın bizi sabit sayıya götürür. O halde P(x)=c ifadesi yazılabilir.

 

Peki sıfır polinom nedir? Burada da işlemin sonucu daima sıfır çıkmalıdır. P(x)=0 olmak zorundadır.

 

Polinomların Eşitliği

 

Burada bize verilen iki veya daha fazla polinom ifadesinin eşit olduğunu söyler. Örneğin; P(x)=Q(x) gibi.

burada iki polinomun birbirine eşit olduğu görülür. Eğer iki polinom birbirine eşitse tüm katsayı ve terimleri de eşit olmalıdır.

Polinomların Kökleri ve Çarpanları

Polinom konu anlatımı içinde sıradaki konu polinomların köklerini ve çarpanları bulmaktır. Şimdi kök nasıl bulunur, çarpan nedir ona bakalım.

 

Polinomun Kökleri ve Çarpanları

 

Bir polinomun kökleri ifadeyi tam bölen sayıları gösterir. Örneğin;

olsun. burada polinomun kökünü çarpanlara ayırarak ya da rastgele bir sayı dneyerenk sıfıra eşitleyebiliriz. Örneğin x=1 olsun.

Bakın burada sonuç 0 oldu. O halde x=1 olabilir ve polinomun bir köküdür. Şimdi çarpanları bulalım. Çarpanlar denilen ifade polinomu sıfır yapan değerlerden seçilir. yani x-1 bir çarpandır. Nedeni polinomu tam böler.

Burada ilk polinomu bir çarpanına bölelim. Ardından ifade ikinci dereceden bir denklem kolaylığına gönüşür. Ardından burada polinom çarpanlarını bulabiliriz.

olur.

 

Polinomların Tam Sayı Kökleri

 

Polinom konu anlatımı içerisinde tam kökleri bulabilmek için polinomu sıfır yapan değerlere bakabiliriz. Eğer polinomu sıfır yapıyorsa, kökleri bulduk demektir. Yukarıdaki örnekte verilen kökler tam sayı köklerine örnektir.

 

Polinomun Çarpanı Olarak (x-a)

 

Polinom sorularında çarpan olarak verilen ifadeyi yazdığımızda bize çözümünden kalan ifadeyi verir. Bunu yukarda çarpanlar konusunda da değindik. Çarpan denilen şey polinomu bölen ifadedir ve kalanı da göstermeye yardımcı olur.

 

Örneğin, P(x) polinomunun (x-a) ile bölümünden kalan 3 olsun. Bu ne demektir? Bir polinom var bu polinom (x-a) bölünüyor ve kalanı 3 olduğunu anlamamız gerekir.

 

Örneğin + c olsun. Polinomun (x-2) ile bölümünden kalan 3 ise c kaçtır

 

Biliyoruz ki çarpanı (x-2) ise köklerinden biri 2’dir. x=2 yazalım. P(2)=8-24+c= -16+c olur. Polinomun kalanı 3 ise sonuç 3 olmalıdır. O halde -16+c=3 ise c = 19 bulunur.

 

Polinom Bölme ve Kalan Teoremi

polinomunu (x-1) ile bölelim.

 

/ (x-1) = (x-2) bulunur ve kalan sıfırdır.

 

P(x)=q(x).r(x)+K(x) ise;

 

• q(x) = (x-1)
• r(x)= (x-2)
• K(x)= 0 olur.

Polinomların Uygulamaları

Polinom konu anlatımı içerisinde uygulama alanlarından bahsedilebilir. Bunlar fizik, bilgisayar ya da mühendislik alanlarında kullanılır.

 

Polinomlarda Özdeşlikler ve Kullanımı

 

Özdeşlikler ve kullanımı konusuna bakarak polinomlar üzerinde de bu formülleri kullanabiliriz. Genellikle sorularda kolay çözüme gidebilmek için kullanılır. Örneğin; tam kare, tam küp, iki kare farkı gibi özdeşliklerden faydalanabilirsiniz.

 

Örneğin, P(x) =+10x+25 olsun. Burada polinomu çarpanlarına ayırarak (x-5).(x-5) şeklinde yazabiliriz. Böylece köklerini de kolayca bulabilirsiniz.

 

Polinomların Geometrik Yorumları

 

Genellikle grafik çiziminde polinomun kökü, derecesi ve baş katsayısına bakılarak çizim yapılır. Geometrik yorumlarına farklı grafikler bulunabilir. Bunlar;

 

Lineer Polinom:

Parabol (İkinci dereceden polinom): olarak ifade edilir.