Permütasyon Kombinasyon Konu Anlatımı

Tanım

Tanımlar, matematikte ve diğer tüm disiplinler içinde çok önemli bir yer alır. Bir konuyu derinlemesine anlayabilmek için tanımlar bize yol gösterir. Şimdi permütasyon kombinasyon tanımlarına göz atalım. Böylece problem çözmeye başlayınca soruların sizden istediği sonuçları daha kolay anlayabilirsiniz.

 

Permütasyon: Bir kümenin elemanlarını ele alalım. Bu küme elemanları belirli sıra gözeterek farklı dizilişler içerir. İşte bu farklı dizilişlerin her birine ilk kümenin permütasyonları denir. Bu durumu bir örnek ile açıklayalım.

 

Örnek: A={1,2} kümesinden oluşuyor. A kümesinin tüm permütasyonlarını sıralayın.

 

Çözüm: 1 ve 2 sayısıyla oluşabilecek tüm sıralamaları yazmamız isteniyor. O halde, 12 ve 21 sayılarını oluşturabiliriz.

 

Kombinasyon: Bir kümenin elemanlarından oluşabilecek tüm alt kümelerin sayısını içerir. Bu sayede gruplama ve seçme adını da alabilir.

 

Örnek: K={1,2} olsun. Bu kümenin tüm alt kümelerini yazınız.

 

Çözüm: {1}, {2} olduğu görülür. Küme istenildiği için köşeli parantezde ifade edilir.

 

Permütasyon kombinasyon farkı olarak permütasyonda kümeyi sıralamak istenir ancak kombinasyonda kümeyi gruplamak istenir, diyebiliriz. İstenilen ifadeleri tek tek yazmak ileriki sorularda zorlanabilir. Bunun için permütasyon kombinasyon için ortaya konulan formülleri uygulayabilirsiniz. Böylece çözüme kısa yoldan gidebilir.

Sayma Yöntemleri

Permütasyon kombinasyon ile çözülebilecek sorular içerisinde farklı sayma yöntemleri karşımıza çıkabilir. Birbirini etkileyen olaylar ve bağımsız olaylar olmak üzere farklı durumlar meydana gelir. Bunun için her soruda çarpma ya da toplama yaparken olayların bağımlı ya da bağımsız olduğuna bakılabilir.

 

Bire Bir Eşleme Yoluyla Sayma

 

Sayılardan oluşmayan bir kümenin eleman sayısını bulabilmek için tam sayılar kümesinin elemanları arasında eşleme yapılır. Bu yönteme ise bire bir eşleme yoluyla sayma adı verilir. permütasyon kombinasyon başlığında ifadelerden oluşan kümeleri bu şekilde sayabilirsiniz.

 

Örnek: TAKDİR kelimesinin harfleriyle oluşan bir kümenin elemanlarının sayısını bire bir eşleme yoluyla bulalım.

 

Çözüm: TAKDİR kelimesini B kümesine yerleştirelim.

 

• B={T,A,K,D,İ, R}
• Z= {1,2,3,4,5,6} şeklinde sıralayalım. Burada B kümesinde bulunan harfleri sayılarla eşleştirelim. Sonuç olarak s(B)= 6 olduğunu bulabiliriz. O halde TAKDİR kelimesi 6 elemanlı bir kümedir.

 

Eğer küme içerisinde yer alan bir kelimede, aynı harften iki tane mevcut olursa; o harf bir defa sayılır. Örneğin; ALA kelimesinin harfleriyle oluşan kümenin eleman sayısı 2’dir. A harfi bir defa sayılır.

 

Toplama Yoluyla Sayma

 

Meydana gelen olaylar birbirinden bağımsız ise toplama yoluyla sayma yöntemi kullanılır. Bu olayları sıralamamız isteniyorsa burada permütasyon yaptığımızı da hatırlayalım.

 

Örnek: Görkem’in birbirinden farklı 4 kot gömleği ve 3 oduncu gömleği olsun. Bu duruma göre gömlekler arasından 1 tanesi kaç farklı şekilde seçilebilir?

 

Çözüm: Kot gömlekler için K, oduncu gömlekler için O harfini kullanalım.

 

• 4 adet kot gömlek KKKK ve 3 adet oduncu gömlek OOO olsun.
• Sonuç olarak KKKK ve OOO şeklinde iki kümeye sahip oluruz. Bu kümeler içerisinde her biri farklı eleman olduğu için toplam 7 sıralama yapılabilir. s(K)=4 s(O)=3 ve s(K)+s(O)=7 bulunur.

 

O halde toplama yoluyla sayma yaparken A ve B sonlu ya da ayrık iki küme ise elemanları toplanarak sıralama yapılabilir. Matematiksel olarak ifadesi ise, s(AUB)= s(A)+s(B) olur.

 

Çarpma Yoluyla Sayma

 

A ve B kümeleri birbirine bağımlı ise bu sıralama yöntemini çarpma yoluyla sayma metodu kullanılarak yapılır. Permütasyon kombinasyon konusu içerisinde; çarpma yoluyla sayma ayrıca saymanın temel ilkesi olarak da adlandırılabilir.

 

Örnek: Matematik sınav soruları hazırlayan İlke Öğretmen, Word dosyasında 4 farklı yazı tipi ve 3 farklı yazı boyutuyla karşılaşır. İlke Öğretmen soruları hazırlamak için 1 yazı tipi ve 1 yazı boyutu arasından kaç farklı şekilde sınav soru kağıdını hazırlayabilir?

 

Çözüm: Yazı Tipi= YT ve Yazı Boyutu = YB olsun.

 

• YT= {1,2,3,4}, YB= {1,2,3} olsun.
• Olaylar birbirine bağlı oldukları için küme sayıları çarpılarak seçim sayısını bulabiliriz. s(YT)=4 ve s(YB)=3 ise 4x3=12 farklı şekilde seçim yapılabilir.

Faktöriyel Nedir?

1’den başlayarak doğal sayıların ardışık şekilde n sayısına kadar çarpılması işlemine faktöriyel denir. “!” işaretiyle sembolize edilir. Bu kavramı permütasyon kombinasyon sorularında çözüme ulaşabilmek için sıklıkla kullanacağız.

 

Örnek:

 

• 1!=1
• 0!=1
• 3!=1.2.3=6 olur.

Permütasyon Nedir?

n elemana sahip bir kümenin, birbirinden farklı olacak şekilde r elemanından oluşabilecek dizilişlere permütasyon adı verilir.

 

P(n,r) şeklinde gösterilir. olacak şekilde hesaplamaları yapılır.

 

Örnek: P(5,4) ifadesinin değerini hesaplayalım.

 

Çözüm:

Buradan sayılar doğruca formül üzerine yazılır. Böylece sonuca ulaşılır.

Farklı Elemanların Sıralanışı

Permütasyon kombinasyon konusu içerisinde genellikle farklı elemanlar arasında sıralama ya da seçme yapılır. Yukarıda verilen örneklerin tümünde birbirinden bağımsız ve farklı elemanlara ait örnekler verilir. Ancak tekrar eden küme elemanları da bulunabilir. Tekrarlı permütasyon içeren durumlar da yaşanabilir.

Tekrarlı Permütasyon

Özdeş olan elemanlar arasında sıralama yapabilmek için tekrarlı permütasyon formülünden yararlanılır. Özdeş olan elemanları şeklinde farklı numaralar ile birbirinden ayırabilir.

sonuç olarak bu şekilde bir formüle ulaşılır.

 

Örnek: MATEMATİK kelimesinin harflerinin yerlerini değiştirerek anlamsız ya da anlamlı şekilde kaç farklı harf birliği oluşturabileceğini bulunuz.

 

Çözüm: MATEMATİK kümesinde; M harfinden 2, A harfinden 2 ve T harfinden 2, E harfinden 1, İ harfinden 1 ve K harfinden 1 adet vardır. O halde, n sayısı tüm elemanları içerir. Toplayınca 9 harf vardır. Tekrar içerenleri bölümün alt kısmına yazarsak;

şeklinde sonuca ulaşılır. Payda kısmına tekrar eden elemanların sayısı faktöriyel şekilde yazılır.

Kombinasyon Nedir?

Permütasyon kombinasyon terimlerinden ikinci olan kombinasyon kavramına bakalım. Kombinasyon belirli bir kümenin elemanları arasında seçim yapma durumudur.

 

Örneğin, n elemanlı bir B kümesi olsun.Bu kümenin içerisinden r elemanlı alt kümeler seçilsin.  Ortaya çıkabilecek tüm r elemanlı kümelerin sayısı kombinasyonla yapılır.

 

C(n,r) şeklinde sembolize edilir. Permütasyon kombinasyon sorularında kullanılacak formül ise şu şekildedir:

Örnek: C= {2,3,4,8,7} kümesinin 2 elemanlı alt küme sayısını bulunuz.

 

Çözüm: Soruda bize verilen bir küme ve o kümenin elemanları vardır. Bizden ise bu kümenin 2 elemanlı alt kümelerini oluşturmamız istenir. O halde bu ifade bir kombinasyon sorusudur.

 

• Formülde değerleri yazarak sonuca ulaşabilirsiniz.
• s(C)=5 ise
• C(5,2)= 5!/2!.(5-2)! = 5.4.3.2.1/2.1(3.2.1)=10 bulunur.

Gruplama ve Sıralama Farkı

Permütasyon kombinasyon konusunda gruplama ve sıralama iki farklı başlıkta incelenebilir. Bir soru içerisinde kombinasyon mu yoksa permütasyon mu yapmamız gerektiğini anlayabilirsek soruyu çözebilmek o kadar kolaylaşır. Permütasyon basitçe sıralama, kombinasyon ise seçim yapma durumudur.

 

Gruplama yaparken belirli ekip arasından alt ekipler oluşturmanız istendiği aklınıza gelebilir.

 

Örneğin, 12 kişilik izci grubundan 2 kişilik ekip seçilmesi gerekiyor. Bu ekipler kaç farklı şekilde seçilir?

 

Bu soruda istenilen şey 12 kişiden 2 kişi seçmektir. Seçim yapılması isteniyorsa bir gruplama sorusu olduğunu anlayabilirsiniz.

 

Sıralama ise belirli bir küme arasında dizilim önemlidir. Bu dizilim kaç farklı şekilde yapılabilir sorularını görebilirsiniz.

 

Örneğin, bir kütüphanede 7 kitap bulunsun. Kütüphane rafları ise 4’erli şekilde gruplanmıştır. Rafa sığabilecek 4 kitap kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?

 

Bu örnekte ise rafa kitap dizmemiz isteniyor. Herhangi alt küme oluşturmaya gerek duymadan 4 kitabı rafa yerleştirebiliriz. O halde bu sıralama sorusudur.

 

Sorular içerisinde gruplama ve sıralama farkını anlamak için permütasyon kombinasyon tanımlarını dikkatlice okumanız tavsiye edilir.

Permütasyon ve Kombinasyon Arasındaki Farklar

Permütasyon kombinasyon öğrenciler arasında oldukça karşılaştırılan bir durumdur. Bunun için arasındaki farkları öğrenerek iki kavramı birbirinden ayırt edebilmeniz hedeflenir. Permütasyon kombinasyon arasındaki farklar;

 

Permütasyon içeren ifadelerde sıralama ve diziliş önemlidir. Ancak kombinasyonda sıralama ve diziliş önemli değildir.

Bir kümenin n sayısının r farklı şekilde gösterimi içinformülü kullanılırken, bir kümenin n elemanlı kümesinden r elemanlı alt küme oluşturulmak istendiğinde formülü kullanılır.