Matematikte Temel Kavramlar Konu Anlatımı

İçindekiler

Temel Sayı Kavramları

Matematikte temel kavramlar, matematik işlemlerinin temellerini oluşturur. Burada sayı kümelerinden bahsedilir. Sayıların neler olduğunu ve hangi kümelere dahil olduklarını öğrenebilirsiniz.

Sayı Sistemleri

Sayı doğrusunda bulunan ve günlük hayatta karşılaşabileceğimiz sayıları içerir. Bunlarla beraber işlemlerde kullanılabilecek negatif, kesirli ve tanımsız kavramlarıyla da tanışılır.

Sayı Kümeleri: Doğal, Tam, Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar
Doğal Sayılar: (N) ile gösterilir. {0,1,2,3 … } şeklinde sıralanır. Pozitif sayılardan oluşur.
Tam Sayılar: (Z) ile gösterilir. Pozitif ve negatif tam sayılar olarak ikiye ayrılır. Pozitif tam sayılar, {0,1,2,...100,...111… } şeklindedir. Negatif tam sayılar {..... -225, …. -55, ….-3,-2,-1 } kümesine dahildir.
Rasyonel Sayılar: a/b şeklinde gösterilebilen sayılardır. İki sayının birbirine oranını ifade eder. a ve b, tam sayılardan seçilir ve b sıfırdan farklıdır.
İrrasyonel Sayılar: Rasyonel olmayan sayılara denir. Örneğin; 5/0 gibi. Burada payda 0 olduğu için tanımsız olur ve rasyonel değil, irrasyonel kümeye dahil olur.

Sayıların Sınıflandırılması

Temel kavramlar konu anlatımı kazanımlarında sayıların sınıflandırılması görülür. Bunlar arasında teklik-çiftlik ve negatif-pozitif sayıları görebilirsiniz. Gelin birlikte tanımlarına bakalım.

Pozitif ve Negatif Sayılar

Negatif sayılar sayı doğrusunda sıfırın sağında, pozitif sayılar ise solunda yer alır.

Negatif sayı: -5, -6, -12 gibi sonsuz çokluktadır.
Pozitif sayılar: 100, 526, 125, 54, 3 gibi uzar ve sonsuza kadar gider.

Tek ve Çift Sayılar

Tam sayılar arasında yer alan bu kavramlar için;

Tek sayılar: 2n+1 şeklinde yazılan sayılara denir. (n, tam sayıların elemanıdır) Örneğin; …, -3,-1, 1, 3, 5, 7, 9 ve 11 gibi sonsuz çoklukta tek sayı yazılabilir.
Çift sayılar: 2n şeklinde yazılabilen sayılara denir. (n, tam sayıların elemanıdır) Örneğin; ….., -8, -6…, 0,2,4, 6, 8, 10 ve 12 gibi sonsuz çoklukta çift sayı vardır.

O halde negatif sayılarda kurallara göre yazılabildiğinde tek veya çift olabilir.

Asal Sayılar ve Aralarında Asal Sayılar

Asal sayılar kendilerinden ve 1’den başka böleni olmayan sayılardır. En küçük asal sayı ise 2’dir. Bir sayının asal olup olmadığını anlamak sırasıyla 2, 3, 5, 7, 11 gibi sayılara bölerek başka bölenleri olup olmadığını anlayabilirsiniz. Peki aralarında asallık nedir? Temel kavramlar konu anlatımı içerisinde bu kavram için iki sayı arasındaki asallık durumuna bakılır. Birbirini bölebilecek ortak bir bölen yoksa aralarında asallık vardır. Örneğin; 7 ile 9 gibi. Aralarında asallar ardışık sayılardan seçilebilir.

Temel Aritmetik İşlemler

Sayıları birbirleriyle işleme koyabilmek için belirli sembollerden yararlanılır. Bunlar çarpma, bölme, toplama ve çıkarma gibidir. Şimdi bu işlemlere bakalım.

Toplama ve Çıkarma İşlemleri

Temel kavramlar konu anlatımı toplama işlemi “+” sembolüyle gösterilir. 2 veya daha fazla sayının toplanması gerekiyorsa araya bu işaret konulur Örneğin; 45+54=99 gibi.

Çıkarma işlemi ise iki veya daha fazla sayının birbirinden çıkarılması durumunda kullanılır ve “-” ile gösterilir. Örneğin; 7-12=-4, 5-3=2 gibi. Sonuçlar negatif çıkabilir.

Çarpma ve Bölme İşlemi

Çarpma ve bölme işlemlerinde sayıların katını ya da bölenini bulabiliriz. Çarpma işlemleri için “x” veya “.” işareti kullanılır. Örneğin; 7x6=42, 6.3=18 gibi. Bölme işlemlerinde ise “/”, “:” veya “÷” şeklinde gösterilir. Bölme işlemlerinde; bölünen, bölüm, bölen ve kalan kavramları vardır. Örneğin; 48/ 12 sayısında 48, bölünen; 12, bölüm; 4, bölen ve 0, kalan olur.

İşlem Önceliği

Matematikte dört işlem yaparken nereden başladığı bilinmelidir. Böylece sonuç doğru bulunur. Peki işlem önceliği nereden başlanır?

Parantez içi
Üslü ifadeler
Çarpma - bölme (soldan sağa doğru işlem yapılır.)
Toplama - çıkarma (soldan sağa doğru işlem yapılır.)

Örneğin; 2+6x3-(3+5)=?

İlk parantez içi (3+5)=8

Sonra çarpma 6x3=18

Yerine yazdığımızda geriye toplama-çıkarma işlemi yapmak kalır: 2+18-8=12 bulunur.

Çarpanlar ve Katlar

Bir sayının çarpanı denildiğinde aklınıza o sayının bölenleri gelebilir. Örneğin; 10 sayısının bölenleri nedir? 2, 5, 1, 10’dur. Bunu aklınızdan yapabilirsiniz. Peki sayılar çok yüksek olursa ne yapılır? Örneğin; 108 sayısının katları nedir denildiğinde tek tek sayılabilir mi? Bu çok vakit alır, o nedenle asal bölenlerine ayırma kavramı ortaya çıkar. Ayrıca iki sayı arasındaki bölen veya katları bulmak için de (EBOB) ve EKOK) kavramlarıyla tanışabilirsiniz.

En Büyük Ortak Bölen (EBOB)

EBOB için iki farklı sayının en az biri sıfırdan farklı olmalıdır. Bu sayıların en büyük ortak bölenine EBOB denir. Örneğin; 12 ve 9 sayısının EBOB’u nedir? Bu sayıların asal çarpanlarına ayrılmış şekli;

12|2 9|3

6 |2 3|3

3 |3 1

ifade üzerinde bu sayıların ortak bölenleri alınır. Burada görüldüğü gibi sadece 3 sayısı ortaktır. O halde EBOB(12,9)=3 denir.

En Küçük Ortak Kat (EKOK)

İki sayı arasında bulunan en küçük ortak katını ifade etmek için kullanılır. Bu sayılardan en az birisi sıfırdan farklı olmalıdır. Örneğin 12 ve 9 sayıları için EKOK nedir? Çözüm:

12|2 9|3

6 |2 3|3

3 |3 1

Burada 12 ve 9 sayılarını asal bölenlerine ayırıp arasından en büyük kuvvetleri alınır.

Dolayısıyla sonuç 36 bulunur.

Asal Çarpanlarına Ayırma

Asal çarpanlara ayırmak için bir sayı, asal sayılara bölünerek bölenleri bulunur. Bu bölenleri ise asal sayılardan oluşur. Örneğin; 120 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

120 | 2

60 | 2

30 | 2

15 | 3

5 | 5

Burada yapılan işlem en küçük asal sayıdan başlayıp sayıyı bölerek ilerlemektir. Ardından bölünmediğinde asal sayıyı değiştirip bölünebileceği sayıyı seçeriz. Sonra bu durum sonuçta 1 kalana kadar devam eder. Ancak burada önemli olan kısım sayıyı asal sayılara bölüyor olmamız.

Sonuç olarak ifade yukarıdaki şekilde yazılır.

Sayılar ve Sayı Dizileri

Şimdi ele alacağımız sayılar arasında tek, çift, ardışık ve sayı dizileri bulunur.

Ardışık Sayılar

Temel kavramlar konu anlatımı için ardışık sayılar kavramının tanımına bakalım. Ardışık sayılar n, n+1, n+2… gibi birer birer artan veya azalan sayıları içerir. Örneğin; 1, 2, 3, 4, 5, 6 sayıları ardışık sayılardır.

Tek ardışık sayılar içinse 2n+1 şeklinde yazıldığı söylenebilir. Örneğin; 15, 13,. …(2n+1),,,, 3, 1 gibi. Ayrıca (2n-1) olarak da alabilirsiniz.

Çift ardışık sayılar ise; 2n şeklinde yazılır. Örneğin; 18, 16, (2n), 6…. şeklinde formüle edilir.

Tek ve Çift Sayıların Özellikleri

Tek ve çift sayılarla işlem yaparken bilinmesi gereken özellikler vardır. Bunlar;

Tek sayı=T, Çift sayı=Ç olsun.

T+T=Ç

T+Ç=T

Ç+Ç=Ç

ÇxÇ=Ç

ÇxT=Ç

Ayrıca bölme işlemlerinde Ç/Ç gibi bu durumda sayının sıfırdan farklı olduğunu bilmelisiniz. Diğer durumda tanımsız olur. Çünkü “0” ‘da çift sayıdır.

Farklı Dizilerin Toplamı

Temel kavramlar konu anlatımı içerisinde iki farklı diziden bahsedilebilir. Bunlar aritmetik ve geometrik dizi olarak geçer. Aritmetik dizi toplamı için ardışık terimleri arasındaki farklar eşitse aritmetik dizi olduğu söylenir Örneğin; 3, 5, 7 sayıları aritmetik diziye örnektir. Terimlerin ortak farkları 2’dir.

Geometrik dizide ise bu durum farklıdır. Aralarındaki ortak fark ortak katı içerir. Örneğin; 2, 4, 8, 16 gibi. Bakıldığında ortak fark, 2 kat olarak gider. Geometrik dizilerde ortak farkı bulmak için ardışık terimleri birbirine bölebilirsiniz. Aritmetik dizide ortak farkı bulmak için ise ardışık terimleri çıkarabilirsiniz.

Üslü ve Köklü Sayılar

Temel kavramlar konu anlatımı arasında üslü ve köklü sayılar da bulunur. Bu sayılar kümesi iki yeni sembolü beraberinde getirir. Bunlar üslü ifadeler için x² gibi ve köklü ifadeler için √x kavramlarıyla tanışılır. Konunun tanım, özellik ve diğer kazanımları için üslü ve köklü sayılar konularına bakabilirsiniz.

Mutlak Değer ve Özellikleri

Temel kavramlar konu anlatımı içerisinde mutlak değerden de kabaca yer verilebilir. Mutlak değer, bir sayının sıfıra uzaklığını göstermek için kullanılır. Mutlak içindeki sayılar reel sayılardan seçilebilir. Ayrıca sembol olarak x sayısının sıfıra uzaklığı |x| ile ifade edilir. Mutlak içi negatif olamaz, eğer negatif ise ÇK boş kümedir. Mutlak değer özellikleri arasında;

|x| ≥0

|x|=|-x|’tir.

|x²|=|x|²

|x.y|=|x|.|y|

|x/y|= |x| / |y|

gibi temel ifadeler sıralanabilir.