Bölme ve bölünebilme, TYT matematikte temel işlem becerilerinin üzerine kurulan önemli konulardan biridir. İlk bakışta yalnızca birkaç kuraldan oluşuyormuş gibi görünse de bu konu; sayıların yapısını anlamayı, kalanlı işlemleri yorumlamayı ve bazı sorularda işlemi hiç yapmadan sonuca ulaşmayı sağlar. Bu nedenle bölünebilme kurallarını yalnızca ezberlemek yerine neden ve nasıl kullanıldığını anlamak önemlidir.
Bölme ve bölünebilme konusu ilerleyen matematik konularında da sık sık karşınıza çıkar. Özellikle çarpanlar, katlar, EBOB-EKOK, rasyonel sayılar ve sayı problemlerinde bu bilgilerden yararlanılır. Konunun TYT içerisindeki yerini görmek isteyen öğrenciler TYT matematik konuları içeriğini de inceleyebilir.
İçindekiler
Bölme İşleminde Temel Kavramlar Nelerdir?
Bölme işleminde dört temel kavram bulunur: bölünen, bölen, bölüm ve kalan.
Örneğin 17 sayısını 5'e bölelim:
17 = 5 × 3 + 2
Bu işlemde:
- 17 bölünendir.
- 5 bölendir.
- 3 bölümdür.
- 2 kalandır.
Bir bölme işleminde kullanılan temel bağıntı şöyledir:
Bölünen = Bölen × Bölüm + Kalan
Bu formül özellikle TYT sorularında oldukça önemlidir. Soruda bölünen sayı doğrudan verilmemiş olsa bile bölen, bölüm ve kalan bilgileri kullanılarak sayı bulunabilir.
Burada dikkat edilmesi gereken en önemli noktalardan biri, kalanın her zaman bölenden küçük olmasıdır. Örneğin bir sayı 7'ye bölündüğünde kalan 0, 1, 2, 3, 4, 5 veya 6 olabilir. Kalanın 7 ya da daha büyük olması mümkün değildir.
Bu temel ilişkiyi iyi öğrenmek, ilerleyen bölünebilme ve kalan sorularını çok daha kolay çözmenizi sağlar.
Kalanlı ve Kalansız Bölme İşlemi Nasıl Yapılır?
Bir sayı başka bir sayıya bölündüğünde kalan sıfırsa işlem kalansız bölme olarak adlandırılır.
Örneğin:
24 ÷ 6 = 4
Burada kalan 0'dır. Bu nedenle “24 sayısı 6'ya tam bölünür” ya da “24, 6'nın katıdır” denebilir.
Ancak her bölme işlemi tam sonuç vermez.
Örneğin:
26 ÷ 6 = 4 kalan 2
Çünkü:
26 = 6 × 4 + 2
Bu durumda 26 sayısı 6'ya tam bölünmez.
Sorularda “tam bölünür”, “kalansız bölünür” veya “katıdır” gibi ifadeler gördüğünüzde kalan değerinin 0 olması gerektiğini hatırlayın.
Özellikle kalan sorularında uzun bölme işlemi yapmak her zaman gerekli değildir. Örneğin 53 sayısının 5'e bölümünden kalanı bulmak için 53'ü uzun uzun bölmeye gerek yoktur. 50 sayısının 5'e tam bölündüğünü bildiğimiz için geriye kalan 3 sayısı doğrudan cevabı verir.
Bu düşünme biçimi soru çözme hızını artırır.
2, 5 ve 10 ile Bölünebilme Kuralları Nelerdir?
2, 5 ve 10 ile bölünebilme kuralları en kolay öğrenilen kurallardandır çünkü yalnızca sayının birler basamağına bakmak yeterlidir.
Bir sayı 2 ile tam bölünebiliyorsa son rakamı çift olmalıdır.
Yani son rakam:
0, 2, 4, 6 veya 8 olabilir.
Örneğin 346 sayısının son rakamı 6 olduğu için 2'ye tam bölünür. 517 sayısının son rakamı 7 olduğu için 2'ye tam bölünmez.
Bir sayının 5 ile tam bölünebilmesi için son rakamının:
0 veya 5
olması gerekir.
Örneğin 235 ve 1270 sayıları 5'e tam bölünür. Ancak 238 sayısı 5'e tam bölünmez.
Bir sayının 10 ile tam bölünebilmesi için ise son rakamının mutlaka:
0
olması gerekir.
Örneğin 340, 1270 ve 9000 sayıları 10'a tam bölünür.
Bu üç kuralı birlikte düşünmek de işe yarar. Örneğin bir sayı hem 2'ye hem 5'e tam bölünüyorsa zaten 10'a da tam bölünür.
3 ve 9 ile Bölünebilme Kuralları Nelerdir?
3 ve 9 ile bölünebilme kurallarında sayının son rakamına değil, rakamları toplamına bakılır.
Bir sayının rakamları toplamı 3'ün katıysa o sayı 3 ile tam bölünür.
Örneğin 372 sayısını inceleyelim:
3 + 7 + 2 = 12
12 sayısı 3'e tam bölündüğü için 372 de 3'e tam bölünür.
Aynı yöntem 9 için de geçerlidir. Bir sayının rakamları toplamı 9'un katıysa sayı 9'a tam bölünür.
Örneğin:
729 → 7 + 2 + 9 = 18
18 sayısı 9'un katı olduğu için 729 da 9'a tam bölünür.
Burada öğrencilerin sık yaptığı bir hata vardır: Rakamları toplamının mutlaka 3 veya 9 olması gerektiğini düşünmek. Böyle bir şart yoktur. Toplamın 3'ün veya 9'un herhangi bir katı olması yeterlidir.
Örneğin 18, 27, 36 gibi sayılar da 9'un katıdır.
4, 6 ve 8 ile Bölünebilme Kuralları Nelerdir?
4 ve 8 ile bölünebilme kurallarında sayının tamamını incelemeye gerek yoktur.
Bir sayının 4 ile tam bölünebilmesi için son iki basamağının oluşturduğu sayının 4'e tam bölünmesi gerekir.
Örneğin:
7316
sayısında son iki basamak 16'dır. 16, 4'e tam bölündüğü için 7316 da 4'e tam bölünür.
Bir sayının 8 ile tam bölünebilmesi için ise son üç basamağın oluşturduğu sayının 8'e tam bölünmesi gerekir.
Örneğin:
5240
sayısında son üç basamak 240'tır. 240, 8'e tam bölündüğü için 5240 da 8'e tam bölünür.
6 ile bölünebilme kuralı biraz farklıdır. Bir sayının 6'ya tam bölünebilmesi için hem 2'ye hem de 3'e tam bölünmesi gerekir.
Örneğin 234 sayısını düşünelim.
Son rakamı 4 olduğu için sayı 2'ye tam bölünür.
Rakamları toplamı:
2 + 3 + 4 = 9
olduğu için sayı 3'e de tam bölünür.
Dolayısıyla 234 sayısı 6'ya tam bölünür.
Bu tür birleşik kurallarda iki şartın da sağlanması gerektiğini unutmayın.
11 ile Bölünebilme Kuralı Nasıl Uygulanır?
11 ile bölünebilme kuralı diğerlerinden biraz farklı görünse de birkaç örnek çözüldüğünde oldukça kolaylaşır.
Sayının rakamları sağdan veya soldan başlayarak sırayla iki gruba ayrılır. Birinci gruptaki rakamların toplamı ile ikinci gruptaki rakamların toplamı arasındaki fark hesaplanır.
Bu fark:
0 veya 11'in katıysa
sayı 11'e tam bölünür.
Örneğin 352 sayısını inceleyelim.
Bir grupta:
3 + 2 = 5
diğer grupta:
5
bulunur.
Aradaki fark:
5 - 5 = 0
olduğu için 352 sayısı 11'e tam bölünür.
Başka bir örnek olarak 121 sayısını düşünelim:
1 + 1 = 2
Ortadaki rakam 2'dir.
2 - 2 = 0
olduğu için 121 sayısı da 11'e tam bölünür.
Bu kuralı öğrenirken yalnızca formülü ezberlemek yerine birkaç farklı sayı üzerinde uygulama yapmak daha kalıcı sonuç verir.
Bölme ve Bölünebilme Soruları Nasıl Çözülür?
Bölme ve bölünebilme sorularında ilk yapılması gereken şey, sorunun sizden hangi bilgiyi kullanmanızı istediğini fark etmektir.
Örneğin “Bir sayı 3'e tam bölünmektedir” deniyorsa akla hemen rakamlar toplamı gelmelidir. “4'e tam bölünmektedir” denildiğinde ise son iki basamağa bakılmalıdır.
Soruyu çözmeden önce şu kısa kontrol yapılabilir:
- Hangi sayıya bölünebilme soruluyor?
- Bu sayı için hangi kural kullanılmalı?
- Soruda eksik bir rakam mı aranıyor?
- Tam bölünme mi yoksa kalan mı soruluyor?
Özellikle eksik rakam sorularında bölünebilme kuralları çok işe yarar.
Örneğin 47A sayısı 3'e tam bölünüyor olsun.
Rakamlar toplamı:
4 + 7 + A = 11 + A
olur.
11 + A değerinin 3'ün katı olması gerekir. Buna göre A yerine gelebilecek rakamlar kontrol edilerek doğru seçenekler bulunabilir.
Bölünebilme konusunu çalışırken her kuralın ardından birkaç temel soru çözmek, ardından farklı kuralların birlikte kullanıldığı sorulara geçmek iyi bir yöntemdir. Yanlış yapılan sorularda ise yalnızca doğru cevaba bakmak yerine “Ben burada hangi kuralı karıştırdım?” sorusunu sormak gerekir.
TYT'de bu konu çoğu zaman tek başına değil, başka sayı konularıyla birlikte kullanılabilir. Bu nedenle kuralları hızlı hatırlayabilecek seviyeye gelmek önemlidir. Bölme ve bölünebilme konusunu tamamladıktan sonra matematikte hangi başlıklara geçebileceğinizi görmek için TYT konuları listesinden çalışma sıranızı oluşturabilirsiniz.
