Denklem Çözme Konu Anlatımı

Denklemlerin Temel Kavramları

Denklemlerin temel kavramları bilinirse soruya yaklaşımlar o kadar kolaylaşır. Bu temel kavramlar arasında denklem nedir, denklem çözüm kümesi nedir, boş küme, sonsuz küme ve tek elemanlı küme kavramlarını görebilirsiniz. Böylece soruda istenen kalıpları bilmiş olursunuz. Ayrıca denklem çeşitlerini de öğrenerek yok etme, yerine koyma ya da x’i yalnız bırakan metodlarını uygulayabilirsiniz. Denklem çözme konu anlatımı için temel ifadeleri öğrenip kolayca sorulara geçebilirsiniz.

Denklem Nedir?

Farklı nicelikli ifadelerin birbirine eşit olduğunu göstermeye yardım eden bir bağıntı adına denklem denir. Bu ifadeler için sayılar reel kümeden seçilebilir. Yani denklem çözme konu anlatımı içerisinde geçen sayıların kümelerinin sınırı yoktur.

 

Burada bilinmeyeni bulup sonuca varılır. Burada ax+b=0 kavramını görebiliriz. Tek kural a sayısı “0”’dan farklıdır. a ve b, reel sayıların elemanıdır. Burada fark edilmesi gereken durum denklemlerde sabit sayıların (b gibi) olduğudur.

 

Çözüm kümesi nedir, bilinmeyen x sayılarının alabileceği değeri ifade eden bir kümedir. Kısaca ÇK ile gösterilir.

 

• x= - b/a
• ÇK{- b/a} şeklinde gösterilir.

 

Denklem çözmek için ax+b=0 ifadesi için 3 durum ortaya çıkar.

 

• a≠0 için tek bir çözüm vardır. Çözüm kümesi bir elemanlıdır.
• a=0 ve b=0 ise sonsuz çözüm bulunur.
• a=0 ve b≠0 ise çözüm kümesi boş kümedir.

 

Bu ifadeleri soru çözerken görebilirsiniz.

 

Aşağıda bize sözel olarak verilen ifadeleri nasıl matematik diline çevirebiliriz ona bakalım. Denklem çözme konu anlatımı içerisinde öğrencilerin en çok zorlandığı kısım burası olabilir. O nedenle birçok örnek üzerinden anlatım bulabilirsiniz.

 

• Bir sayısının karesi
• Bir sayının küpü
• Bir sayının 7 fazlası (x+7)
• Bir sayının 2 eksiğinin 3 katı (x-2).3 ya da 3.(x-2)

 

Bu ifadeleri çözebilmek için bir sayı yerine x alınır. Çünkü sayının ne olduğunu bilmiyoruz. Bilinmeyen x olsun. Burada görüldüğü gibi denklem çeşitlerinden birinci ve ikinci dereceden kavramları görülür. Peki bu denklemler kurulduktan sonra nasıl çözülür? Gelin denklem çözme konu anlatımı kısmına burdan devam edelim.

Denklem Çeşitleri Örnekler

Soru çözerken birçok denklem türüne denk gelebilirsiniz. Bunlar arasında bazıları YKS ve LGS müfredatı içinde bulunur. Diferansiyel denklemler ise üniversitede matematik bölümlerinde karşınıza çıkabilir. Ancak ifadeyi temel olarak öğrenmek işinize yarayabilir.

 

• Birinci Dereceden Denklemler: ax+b=0
• Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler: ax+by=0
• İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler:
• Karesel Denklemler:
• Kübik Denklemler:
• Diferansiyel Denklemler:

 

şeklinde sıralanır. Bazı denklem çeşitlerini sadece formülünü bilmeniz yeterlidir. Denklem konuları ilerledikçe anlamlarını ve sorularını görebilirsiniz. Buradaki amaç sorular içinde geçen denklemlerin hangi çeşide ait olduğunu bilip soruya o tarzda yaklaşmanız olacaktır.

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

Denklem çözme konu anlatımı arasında birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem aslında adında geçtiği gibidir. Bir bilinmeyen içerir ve derecesi de 1’dir. Bu tür denklemlere birinci derecen bir bilinmeyenli denklem denir. Örneğin:

 

5x+12=7x-3 ifadesinde bir bilinmeyen vardır(x) ve (x)’lerin derecesi 1’dir.

7x+3=-4, 5x+3=0 gibi örnekler çoğaltılabilir.

2x+2y=3 ifadesi tanıma uymaz. Çünkü iki bilinmeyen (x ve y) vardır.

 

Bir diğer örnek =0 olsun. Bu denklemde bilinmeyen katsayısı ikidir. O nedenle birinci dereceden tanımına uymaz.

 

Örneğin; x+y=0. Bu örnekte de iki bilinmeyen olduğu için birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem değildir.

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler için a, b ve c sayılarını ele alalım. Ayrıca a ve b sayıları sıfırdan farklı olsun. Bu koşulu sağlayarak a,b ve c sayılarını reel kümeden alabilirsiniz. Denkleme x ve y değişkenleri de eklensin. Sonuç olarak ax+by=c şeklinde yazılabilen ifadeler için bu tanımı kullanabilirsiniz. İfade de c sayısı değişkene bağlı olmayan sabit bir sayıdır. Değişkenlerin derecelerinin 1 olduğuna da dikkat edebilirsiniz.

 

Eğer bu tanıma uygun birden fazla denklem grupları görürseniz onlara da birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denilir. Denklem çözme konu anlatımı içerisinde ikili sistemleri de bulunur.

 

Denklem sistemlerini çözebilmek için:

 

Yerine Koyma Metodu: Denklem sistemlerinde iki veya daha fazla bilinmeyen bulunabilir. Bunun için bilinmeyenleri birbiri yerine koyarak bilinmeyen sayılarını azaltabiliriz. Bunu bir örnekte görelim.

 

• x+y=10 ve x-y=2 denkleminde x ve y değerlerini bulun.

 

İlk adım: x+y=10 ilk denklemde y karşıya atılır.

 

İkinci adım: (10-y)-y=2 bu ifade ikinci denklemde yerine yazılır (x yerine x=10-y yaz.)

 

• 10-2y=2
• -2y=2-10
• -2y=-8
• y=4

 

Burada y= 4 bulunur. Herhangi bir denklemde y’yi yerine yazarak x sayısına da ulaşabiliriz.

 

• x+4=10
• x=10-4
• x=6

 

Yok Etme Metodu: Bir denklem sisteminde birden fazla bilinmeyen bulunabilir. Bunu için bilinmeyenlerinden birini yok ederek sonuca gidilebilir. Burada 4 işlem uygulayabiliriz.

 

• 2x+3y=16 ve 4x-2y= 8 denklem sisteminde x ve y değerlerini bulunuz.

 

İlk adım: Yok edilebilecek bilinmeyeni bulabilirsiniz. Bunun için en kolay işleme girebilecek bilinmeyen seçilebilir. Burada ilk denklemi, -2 ile çarpalım.

 

• -2.(2x+3y)=-2.16
• -4x-6y=32

 

Ardından ikinci denklem ve birinci denklemi toplayalım.

 

İkinci adım: İki denklem toplandığında bilinmeyenlerden biri gitmelidir.

 

• (-4x-6y)+(4x-2y)=-32+8
• -4x+4x-6y-2y=-24
• -8y=-24
• y=-24/-8
• y=3

 

Burada x bilinmeyeni gider ve y =3 bulunur. Şimdi herhangi bir denklemde y’yi yerine yazıp x sayısını bulalım.

 

2x+3y=16 denkleminde y=3 yazalım. 2x+9=16 ise 2x=7 olur ve x sayısı 7/2 bulunur.

 

Böylece iki farklı yöntem arasından uygun olanları seçip sorularınızda uygulayabilirsiniz.

Denklem Çözme Teknikleri

Denklem çözme teknikleri arasında yukarıda bahsedilen yok etme ve yerine koyma metodlarını uygulayabilirsiniz. Ayrıca x sayısını yalnız bırakmakta birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler için seçilebilir. Şimdi denklem çözme konu anlatımı için karma örnekler çözelim. Böylece denklem çözme teknikleri üzerinden de geçmiş olunur.

 

Örnek 1: x+2y=11 ve 3x-y=4 ifadesinde x ve y’yi yok etme metoduyla çözünüz.

 

Çözüm:

 

İlk adım: İlk denklemi -3 ile çarparız.

 

• -3.(x+2y)=-3.11
• -3x-6y=-33

 

İkinci adım: Denklemleri toplayalım.

 

• (-3x-6y)+(3x-y)=-33+4
• -3x+3x-6y-y=-29
•  

Buradan x değişkeni yok olur ve -7y = -29 bulunur.

 

• y=-29/-7
• y=29/7

 

O halde bunu denklemden birine yazıp x ifadesini bulalım.

 

• x+2y=11
• x+2(29/7)=11
• x+58/7=11
• x=11-58/7
• x=77/7-58/7
• x=19/7 sonucuna ulaşılır.

 

Örnek 2: x+y=5 ve x+2y=3 ifadesinde x ve y sayılarını yerine koyma metoduyla çözünüz.

 

Çözüm:

 

İlk olarak birinci denklemde x= -y+5 olsun.

 

İkinci adım: İkinci denklemde x’i yerine yazalım.

 

• x+2y=3
• (5-y)+2y=3
• 5-y+2y=3
• 5+y=3
• y=3-5
• y=-2 bulunur.

 

Herhangi bir denklemde y değerini yerine yazarak x sayısını bulalım.

 

• x+y=5
• x+(-2)=5
• x-2=5
• x=5+2
• x=7 bulunur.

 

Örnek 3: 5x-7=3x+9 ifadesinde x değerini bulunuz.

 

Çözüm: Burada x’li fadeleri yalnız bırakalım. 5x-3x=9+7 olsun. x’ler eşitliğin bir tarafına sabit sayılar diğer tarafına topladık. Ardından eşitlikte yer değiştiren sayı önüne eksi alarak karşıya geçti. (-7 karşıya geçerken -(-7) olur o da +7 olarak karşıya geçer. ) Sonuç olarak 2x=16 bulunur. Her tarafı ikiye bölersek x= 8 olur.