Basit Eşitsizlikler Konu Anlatımı

İçindekiler

Basit Eşitsizlik Nedir?

Eşitsizlik kavramı, iki veya daha fazla niceliğin birbirinden büyük ya da küçük olma durumunu açıklar. Sayılar arasında belirli bir denklik bulunmadığında basit eşitsizlik kavramı ortaya çıkabilir.

Eşitsizlik Türleri

Basit eşitsizlik ifadelerinde büyüktür, küçüktür, büyük eşittir ve küçük eşittir gibi 4 tür vardır. Bunların gösterimleri ise sırasıyla; olarak ifade edilir.

Eşitsizlik Kuralları

Basit eşitsizlik ile ilgili edinilmesi gereken bazı kurallar vardır. Bunlar eşitliğin her iki tarafına yapılan bir takım işlemleri içerir.

Eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenip çıkarılabilir. Bu durum eşitsizliğin yönünü değiştirmez. Örneğin, 7>5 ise her iki tarafa ( -2 ) ekleyelim. 7+(-2)<5+(-2) olur. 5<3 bulunur. Eşitsizlik yön değiştirmez.
Basit eşitsizlik ifadelerinde eşitsizliğin her iki tarafı da pozitif bir sayıyla çarpılıp bölünürse eşitsizlik yön değiştirmez. Örneğin, 12<30 olsun. Her iki tarafı 2 sayısına bölelim. 6 <15 olur böylece eşitsizlik yön değiştirmez.
Yönleri aynı olan iki eşitsizlik taraf tarafa toplanır. Örneğin, 2<5 ve 75<125 sayılarını toplayalım. 2+75<5+125 ve 76<130 elde edilir.
Basit eşitsizlik ifadelerinde eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıya bölünür ya da çarpılırsa eşitsizlik yön değiştirir. Örneğin, 45>10 olsun. İfadeyi -5 sayısına bölelim. -9<-2 elde edilir.

Çözüm Yöntemleri

Basit eşitsizlik sorularına iki çeşit çözüm ile yaklaşabilrsiniz. Bunlardan biri cebirsel diğeri ise grafiksel olarak sınıflandırılır. Genellikle grafik çizmek sorularda vakit alabilir o nedenle cebirsel yaklaşıma daha sık başvurulabilir. Ancak bazı problemlerde grafik çizmek gerekebilir. Şimdi cebirsel ifadelerde çözüme nasıl gidilir onları inceleyelim.

Eşitsizliklerdeki Terimleri Sınıflarına Ayırmak

Eşitsizlik denilince aklınıza değişkenler ve sabit sayılar ve eşitsizlik sembolleri gelebilir. Örneğin, 2x+2<8 gibi. Buradaki amaç bilinmeyen sayının aralığını bulmak olduğu için o değeri yalnız bırakabilirsiniz. Böylece bilinenleri bir tarafa bilinmeyenleri eşitsizliğin diğer tarafına ayırabilirsiniz.

Eşitsizlikleri Sadeleştirme ya da Genişletme Yöntemi

Basit eşitsizlik sorularında eşitsizlikleri daha kolay hale getirebilmek için bazı sadeleştirme ya da genişletme yöntemlerine başvurabilirsiniz.

Örneğin; 2x> 4 ise 6x’in aralığını bulunuz.

Bu durumda verilen ilk eşitsizlik 3 sayısı ile çarpılıp genişletilebilir. Pozitif bir sayıyla genişletildiği için eşitsizlik yön değiştirmez. Sonuç 6x> 12 bulunur gibi.

Aralık Kavramı

Basit eşitsizlik ifadelerinde bilinmeyen sayılar sayı doğrusunda belirli bir yere sahiptir. Bunun için sayının 0’a olan uzaklığı ya da hangi iki sayı arasında olduğunu bulabilmek için aralık terimine başvurulur.

Açık Aralık

(a,b) şeklinde çözüm kümesine ait aralıklar için kullanılır. Basit eşitsizlik aralık bulurken her iki sınırında dahil edilmediği sayıları içerir. Genellikle “<, >” gibi sembolleri açık aralıkta görebilirsiniz. Örneğin; (4, 5) aralığını eşitsizlik olarak göstermek için 45 şeklinde yazabilirsiniz.

Yarı Açık Aralık

Basit eşitsizlik içerisinde yarı açık aralık sınırlardan birinin dahil olup diğerinin dahil olmadığı aralıklar için kullanılır. Örneğin; denilirse x sayısı 2 sayısı ile 5 sayı arasında olduğu bilinir. Ayrıca 2 sayısı x sayısından küçük ve x 5 sayısından küçük ya da eşittir şeklinde okuma yapılabilir. (2,5] şeklinde de sembolize edilir.

Kapalı Aralık

Bilinmeyen x sayısı için çözüm kümesi [a,b] şeklinde yazılabilen eşitsizler için kapalı aralık kavramı kullanılır. x sayısı için a ve b sayı aralığında bulunduğunu ve bu sayılara da eşit olabileceğini söyleyebilirsiniz. Örneğin; x sayısının çözüm kümesi [8, 15] olsun. Bu x sayısının aralığı olarak yazılabilir.

Çözüm Kümesi ve Grafik Gösterimi

Çözüm kümesi bilinmeyen sayının dahil olabileceği sayı aralığını göstermek için kullanılır. Çözüm kümesine ilk olarak sayının alabileceği değerlerden küçük olanı sonra büyük değeri yazılır. Örneğin 2<d<5 olsun. x’in çözüm kümesi ÇK=(2,5) şeklinde yazılır. Ayrıca eşitsizlik sembolleri için;

1<a<2 için ÇK=(1,2) ve 1a 2 için ÇK=[1,2] ve 1a<2 için ÇK=[1,2) şeklinde gösterilir.

Eşitliklerde büyüktür sembolleri için de durum aynıdır. Önemli olan kısım sayı aralıklarının dahil olup olmadığını anlamaktır.

Grafik Gösterimi

Eşitsizlikleri grafikte gösterebilmek için belirli adımlar vardır. Bu adımları bir örnek üzerinde inceleyelim.

Örnek: a-2<0 ifadesini analitik düzlemde ÇK bulunuz.

Çözüm:

1. adım: Eşitsizliğin sınır doğruları bulunur. a-2=0 a=2 olduğu bulunur.
2. adım: Eşitsizliğin bölgesi bulunur. a<2 olduğu için 2 ve 2. nin alt bölgesi boyanır.
3. adım: Grafik çizilir.

Mutlak Değer ve Eşitsizlik

Bir sayının mutlak değeri sayı doğrusu üzerinde uzaklığını ifade eder. Mutlak değer ve eşitsizlik arasında belirli bağlantılar bulunur. Şimdi bu özelliklere göz atalım.

x, y ∈ R ve a, b ∈ R+ olmak üzere;

Bu durumlar mutlak değerin dışarıya - olarak çıkamayacağı için oluşabilecek ihtimalleri üzerine kurgulanır. Sorular boyunca mutlak değerin mantığını anlayarak daha birçok özellik oluşturabilirsiniz. Ancak temel olarak 4 madde öğrenirseniz mutlak değer içeren basit eşitsizlik sorularını rahatlıkla çözebilirsiniz.

Örnek: 6<|a+2|<20 olsun. a sayısının çözüm aralığını bulunuz.

Çözüm: |a+2|= |a|+|2| olarak yazılabilir. Burada |2| =2’dir. O halde 6<|a|+2<20 olarak düzenlenebilir. Her tarafı -2 ile toplarsanız 4<|a|<18 elde edilir.

Bu ifadenin iki farklı çözüm kümesi vardır.

4<a<18 ve 2.) 4<-a<18 olur.
Denklemde her iki tarafı - ile çarpalım bu durumda -18<a<-4 elde edilir. O halde ÇK=(4,18)(-18,-4) arasındadır.

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Eşitsizlikler

d: ax+by+c =0 ifadesi birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklemdir. O halde;

şeklindeki ifadeler ise birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlik olarak ifade edilebilir.

İki farklı birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlik karşılaştırılması istenirse eşitsizlik sistemleri kurulabilir.

Örnek:

verilen eşitsizliklerin kesişim noktasının ÇK gösteriniz.

İlk olarak eşitsizlikleri denklem gibi çözüp noktalarını bulalım.

2x+3y=12 ve x-y=3 ise x=3+y olur. İlk denklemde x sayısının yerine 3+y yazarsak;

2(3+y)+3y=12; 6+5y=12 ise 5y=6 ve y=6/5 bulunur.

Daha sonrasında y’i yerine yazıp x sayısını bulalım. x= 21/5 olarak bulunur.

Çözüm kümesine ilk olarak x sayısı ardından y sayısı yazılır. O halde; ÇK = [21/5,6/5] olarak yazılır. Her iki eşitsizlik dahil olduğu için kapalı parantez kullanılır.